問題の所在
これまでの流体力学的インパルスの議論では、無限領域全体に存在する渦度分布を対象としてきた。すなわち、流体全体を一つの系とみなし、その中に局在する渦度から
$$
\B{I} = \frac{1}{2}\int \B{x}\times\boldsymbol{\omega}\,\diff V
$$
を定義する考え方である。
しかし、実際の渦運動では、一つの渦が完全に孤立しているとは限らない。渦輪が壁面の近くを進む場合、別の渦輪と相互作用する場合、あるいは物体の運動によって作られる外部速度場の中を移動する場合など、渦は周囲の流れから影響を受ける。
そこで必要になるのが、「孤立渦」という見方である。ここでいう孤立渦とは、有限領域に閉じ込められた渦度分布であり、その外側は渦なしの流れ、すなわちポテンシャル流れになっているような対象である。
今回の主題は、このような孤立渦に対して流体力学的インパルスと角運動量インパルスを定義し、それらが外部速度場や外力によってどのように変化するかを明らかにすることである。
改めて、孤立渦とは何か？
孤立渦とは、有限の体積 $V_v$ の中に渦度が集中しており、その外側では流体が渦なしであるような渦度分布である。今、渦の占める領域を $V_v$ その境界を $S_v$ とする。
孤立渦の境界では、渦度が境界を突き抜けないことが仮定される。すなわち、
$$
\B{\omega}\cdot\B{n}=0
\quad (\text{on } S_v)
$$
である。ここで $\B{n}$ は境界面の外向き法線である。
この条件は、渦線が渦領域の外へ出ていかないことを意味する。言い換えれば、渦度を持つ領域が一つのまとまった「渦のかたまり」として扱えるということである。
三次元の孤立渦では、この条件から
$$
\int_{V_v}\B{\omega}\,\diff V=-\int_{S_v} \B{x}(\B{\om}\cdot \B{n})\, \diff S_v = 0
$$
が成り立つ。これは、三次元の有限な渦度分布では、渦線が閉じているか、境界に沿って閉じ込められていなければならないことと関係している。
孤立渦のインパルス
孤立渦に対しても、無限領域の場合と同じ形で流体力学的インパルスを定義する。すなわち、
$$
\B{I}_v = \frac{1}{2} \int_{V_v} \B{x}\times\B{\omega}\,\diff V
$$
これは、渦領域 $V_v$ だけに着目した流体力学的インパルスである。同様に、角運動量インパルスも
$$
\B{A}_v = -\frac{1}{2} \int_{V_v} x^2\B{\omega}\,\diff V
$$
として定義される。
ここで重要なのは、これらが「渦そのもの」に付随する量として定義されている点である。流体全体ではなく、有限領域に局在した渦度分布だけを取り出し、その渦が持つ力学的特徴を記述するのである。
この考え方は、渦輪のような対象を扱う際に有用である。渦輪は周囲に速度場を誘起するが、渦度そのものは有限な渦核領域に集中している。
そのため、渦核領域に対してインパルスを定義することで、渦輪の並進運動や外部流れとの相互作用が記述しやすくなる。
孤立渦内の速度場の分解
孤立渦の内部の速度場は、二つの部分に分けて考えられる。
$$
\B{u} = \B{u}_v+\B{u}_e
$$
ここで、$\B{u}_v$ はその渦自身が誘起する速度場であり、$\B{u}_e$ は他の渦や物体の運動、壁面効果などによって作られる外部速度場である。
この分解は、孤立渦の力学を理解するうえで本質的である。
渦自身が作る速度場 $\B{u}_v$ は、渦度分布からビオ・サバール型の積分によって決まる。
一方、外部速度場 $\B{u}_e$ は、その渦の外部環境を表す。たとえば、別の渦輪が近くにある場合、この渦輪が作る速度場は $\B{u}_e$ に含まれる。壁面が存在する場合には、鏡像渦によって表される速度場も $\B{u}_e$ とみなせる。
したがって、孤立渦のインパルスの時間変化は、「渦自身の内部力」ではなく、「外部から与えられる速度場や力」によって決まることになる。
インパルスの時間変化
今回の内容の中心は、孤立渦のインパルスの時間変化が次の形で表されることにある。
$$
\frac{\diff \B{I}_v}{\diff t} = \int_{V_v}\B{F}\,\diff V+\int_{V_v}\B{u}_e\times\B{\omega}\,\diff V
$$
第一項
$$
\int_{V_v}\B{F}\, \diff V
$$
は、渦領域に作用する非保存的な外力の合計である。外部から実際に力が加えられていれば、その力がインパルスを変化させる。第二項
$$
\int_{V_v}\B{u}_e\times\B{\omega}\,\diff V
$$
は、外部速度場による渦力である。これは、以前導入した渦力
$$
\B{u}\times\B{\omega}
$$
の考え方に対応している。ただし、ここで効いているのは渦自身の速度ではなく、外部速度場 $\B{u}_e$ である。
この式の意味は次のように述べられる。孤立渦のインパルスは、外力と外部流れによって変化する。逆に言えば、外力も外部速度場もなければ、孤立渦のインパルスは保存される。
公式の導出過程
渦が存在する領域 $V_v$ を流体とともに動く物質体積として考えると、積分の中の $x$ も流体粒子とともに動く。したがって、流体力学的インパルスの時間微分については、物質微分と考える必要があるしたがって、
$$
\begin{split}
\frac{\diff \B{I}_v}{\diff t} &= \ff{1}{2}\int_{V_v} \left( \ff{D \B{x}}{D t}\times \B{\om}+\B{x}\times \ff{D \B{\om}}{D t} \right)\diff V \EE
&= \ff{1}{2}\int_{V_v} \left( \B{u}\times \B{\om}+\B{x}\times \ff{D \B{\om}}{D t} \right)\diff V
\end{split}
$$
となる。なお、計算の過程で、$\DL{ \ff{D \B{x}}{D t}=\B{u} }$ を用いている。
右辺第二項については、Fridman方程式方程式に対して、流体が非圧縮性流体である（$\div\, \B{u} = 0$）ことと、バロトロピー流体である（$\grad \rho \times \grad p = \B{0}$）という仮定を付与することで、以下のような対応を見出せる。
$$
\begin{split}
\ff{D \B{\om}}{D t} &= \ff{\del \B{\om}}{\del t}+(\B{u}\cdot \nabla) \B{\om} \EE
&= (\B{\om}\cdot \nabla) \B{u}+\rot \B{F}
\end{split}
$$
これらを一旦整理すると、
$$
\begin{split}
\frac{\diff \B{I}_v}{\diff t} &= \ff{1}{2}\int_{V_v} \B{u}\times \B{\om}\,\diff V+\ff{1}{2}\int_{V_v}\B{x}\times \big( (\B{\om}\cdot \nabla) \B{u} \big)\, \diff V+\ff{1}{2}\int_{V_v} \B{x}\times \rot \B{F} \,\diff V
\end{split}
$$
になる。まず、最後の外力項について考える。この際、以下のベクトル解析の恒等式を用いる。
$$
\begin{split}
\int_V \B{x}\times\rot\B{F}\, \diff V &= 2\int_V \B{F}\,\diff V+\int_S \B{x}\times(\B{n}\times \B{F})\, \diff S
\end{split}
$$
今回、$S_v$ 上にて外力が $\B{0}$ あるいは、面と平行になるとになると仮定するのが妥当なため、上の面積分は消失する。ゆえに、
$$
\begin{split}
\ff{1}{2}\int_{V_v} \B{x}\times \rot \B{F} \,\diff V = \int_{V_v} \B{F}\,\diff V
\end{split}
$$
が得られる。次に、真ん中の項について考える。この際、以下の重要な恒等式を用いる。
$$
\begin{split}
\int_{V_v}\B{x}\times \big( (\B{\om}\cdot \nabla) \B{u} \big)\, \diff V &= \int_{V_v}(\B{u}\times \B{\om})\, \diff V+\int_{S_v} (\B{u}\times \B{x})(\B{\om}\cdot \B{n}) \,\diff V \EE
\end{split}
$$
表面 $S_v$ においては、$\B{\om}\cdot \B{n} = 0$ なので、
$$
\begin{split}
\int_{V_v}\B{x}\times \big( (\B{\om}\cdot \nabla) \B{u} \big)\, \diff V &= \int_{V_v}(\B{u}\times \B{\om})\, \diff V
\end{split}
$$
となる。以上をまとめると、
$$
\begin{split}
\frac{\diff \B{I}_v}{\diff t} &= \int_{V_v} \B{F}\,\diff V+\int_{V_v}\B{u}\times\B{\omega}\,\diff V \EE
&= \int_{V_v} \B{F}\,\diff V+\int_{V_v}(\B{u}_e+\B{u}_v)\times\B{\omega}\,\diff V \EE
&= \int_{V_v} \B{F}\,\diff V+\int_{V_v} \B{u}_e\times\B{\omega}\,\diff V
\end{split}
$$
と導ける。次節で改めて説明するが、計算の過程で $\DL{ \int_{V_v} \B{u}_v \times\B{\omega}\,\diff V = \B{0}}$ という結果を用いている。
渦は自分自身には正味の力を及ぼさない
ところで、上式において、なぜ渦自身の速度場 $\B{u}_v$ は現れないのだろうか？これは重要な点である。実際、渦自身が自分自身に及ぼす全渦力はゼロである。すなわち、
$$
\int_{V_v}\B{u}_v\times\B{\omega}\,\diff V = \B{0}
$$
である。
これは、孤立した渦全体を一つの系として見たとき、内部相互作用は全体のインパルスを変えないということを意味する。渦の内部では、各部分が互いに速度を誘起し合い、渦度分布を変形させる。しかし、それはあくまで内部的な再配置であり、渦全体のインパルスを変化させる正味の力にはならない。
これは力学における「内力は全運動量を変えない」という事実とも対応している。孤立渦の運動においても、渦自身が作る速度場は内部力として働き、全体のインパルスの変化には寄与しないのである。
数学的背景
上式のように言える数学的な背景について述べよう。一般論として、以下の恒等式が成立する。
$$
\begin{split}
\B{u}\times \B{\om} &= \B{u}\times (\nabla \times \B{u}) \EE
&= \nabla \left( \ff{1}{2}|\B{u}|^2 \right)-(\B{u}\cdot \nabla) \B{u}
\end{split}
$$
ゆえに、$\B{u}_v\times\B{\omega}$ を体積分すると、
$$
\begin{split}
\int_{V_v} \B{u_v}\times \B{\om}\,\diff V &= \int_{V_v} \nabla \left( \ff{1}{2}|\B{u_v}|^2 \right)\,\diff V-\int_{V_v} (\B{u_v}\cdot \nabla) \B{u_v} \,\diff V
\end{split}
$$
が得られる。次に、右辺を面積分に変換する戦略を採るのだが、まず簡単な第一項についてはガウスの定理を素直に適用して、
$$
\begin{split}
\int_{V_v} \nabla \left( \ff{1}{2}|\B{u_v}|^2 \right)\,\diff V &= \int_{S} \ff{1}{2}|\B{u_v}|^2\, \B{n}\, \diff S
\end{split}
$$
とできる。さて、こちらで説明したように渦自身が誘起する速度場は $O(R^{-3})$ のオーダーで減衰する。したがって、$|\B{u_v}|^2$ は $O(R^{-6})$ で変化する。また、半径 $R$ の球面 $S$ を面積分の境界にとると、境界面の面積は $O(R^2)$ と言える。
ゆえに、面積分全体は $O(R^{-4})$ のオーダーであると評価できる。そのため、$R\to \infty$ にて面積分は $0$ となる。
第二項については、非圧縮性流体であれば $(\B{u}\cdot \nabla \B{u})$ がテンソル積（dyadic 積）$\otimes$ を用いて、
$$
\begin{split}
(\B{u}\cdot \nabla \B{u}) = \nabla \cdot ( \B{u} \otimes \B{u} )
\end{split}
$$
とも書けることを利用する。これを用いると第二項を次の様に面積分に変換できる。
$$
\begin{split}
\int_{V_v} (\B{u_v}\cdot \nabla) \B{u_v} \,\diff V &= \int_{V_v} \nabla \cdot( \B{u_v} \otimes \B{u_v} ) \EE
&= \int_S \B{u_v}(\B{u_v}\cdot \B{n}) \,\diff S
\end{split}
$$
この面積分についても、先程と同じオーダーについての議論を通して $R\to \infty$ で面積分が $0$ になると言える。
以上のことから、
$$
\int_{V_v}\B{u}_v\times\B{\omega}\,\diff V = \B{0}
$$
となる。
外部速度場による渦力
孤立渦のインパルス変化を支配する項
$$
\int_{V_v}\B{u}_e\times\B{\omega}\,\diff V
$$
は、外部速度場と渦度の相互作用を表している。
この項は、渦が外部流れの中に置かれたときに受ける有効な力である。外部流れが渦度分布と交差するように作用すると、渦全体のインパルスが変化する。
直感的には、渦線が外部流れによって押し流される、あるいは曲げられる効果である。ただし、単なる移流だけではない。渦度という回転構造と外部速度場のベクトル積が、渦全体に作用する力として現れる。
渦輪で考えると、この項の影響は顕著である。たとえば、渦輪が壁面に近づくと、壁面条件を満たすために鏡像渦が導入される。この鏡像渦が作る速度場は外部速度場 $\B{u}_e$ として作用し、実際の渦輪の進行方向や変形に影響を与える。
また、二つの渦輪が相互作用する場合、一方の渦輪が作る速度場は、他方にとって外部速度場である。したがって、渦輪同士の接近、追い越し、反発、変形などは、この外部速度場による渦力の観点から理解できる。
仮想的な容器による解釈
外部速度場による渦力は、仮想的な容器の力として解釈できる。
すなわち、孤立渦をある剛体容器の中に閉じ込め、その瞬間の流れを定常状態として保つために外力を加えると考える。このとき、渦に作用する渦力を釣り合わせるための外力が必要になる。
ニュートンの第三法則により、その外力は流体が容器壁に及ぼす力と対応する。したがって、孤立渦のインパルスの時間変化は、瞬間的に同じ速度場をもつ定常流れにおいて、容器壁が流体に及ぼす力として解釈できる。
この見方も面白い。実際に容器が存在しなくても、渦を囲む流線面を仮想的な壁とみなすことで、渦に作用する力を境界上の圧力・速度分布から考え直すことができる。
先取りになるが、特に、「平面壁の近くにある渦では、壁に平行な方向のインパルス成分が保存される」という結果が導かれる。これは、壁面が法線方向には力を及ぼせるが、理想的な滑り壁であれば接線方向には力を及ぼせない、という物理的直感とも一致する。
角運動量インパルスの時間変化
孤立渦については、流体力学的インパルスだけでなく角運動量インパルスの時間変化も重要である。
角運動量インパルス $\B{A}_v$ の時間変化は、外力のモーメントと外部速度場による渦力のモーメントによって決まる。次の形に整理される。
$$
\frac{\diff \B{A}_v}{\diff t} = \int_{V_v}\B{x}\times\B{F}\,\diff V
+\int_{V_v}\B{x}\times (\B{u}_e\times\B{\omega})\,\diff V
$$
第一項は外力のトルクである。第二項は、外部速度場による渦力のモーメントである。
流体力学的インパルスが並進運動に対応する量であるのに対し、角運動量インパルスは回転的な性質に対応する。外部流れが渦を単に押すだけでなく、回転させたり、傾けたり、変形させたりする場合、この角インパルスの変化が重要になる。
たとえば、渦輪が一様流中で斜めに置かれた場合、あるいは壁面近傍で非対称な誘起速度を受ける場合、渦輪には回転や傾きの変化が生じる。そのような現象は、外部速度場による渦力のモーメントとして理解できる。
孤立渦のインパルスが持つ意味
孤立渦のインパルスは、単なる数学的定義だけでなく、渦が外部環境とどのように力学的な相互作用をするかのを測る量となる。
要するに、全空間のインパルスは保存されるとしても、個々の渦のインパルスは保存されるとは限らない。複数の渦が相互作用している場合、一つの渦のインパルスは変化しうる。ただし、その変化は他の渦や境界との相互作用によって説明される。
このことは、渦運動を「局所的な渦度分布の運動」として見る際に重要である。渦は単に流れに乗って移動する受動的な対象ではない。渦度と外部速度場の相互作用によって、力を受け、向きを変え、形を変えながら運動する能動的な構造である。
渦輪、渦対、壁面近傍の渦、物体後流中の渦構造などを理解する際には、この孤立渦のインパルスという視点が強力な道具になる。
渦輪への応用的な見方
渦輪を孤立渦として見れば、インパルスは渦輪の進行方向と強く結びつく。軸対称な渦輪では、インパルスは通常、渦輪の軸方向を向く。
外部流れが存在しなければ、渦輪のインパルスは保存される。粘性がない理想流体では、渦輪はそのインパルスを保ちながら進行する。
しかし、別の渦輪が近づくと状況は変わる。一方の渦輪が作る速度場は、他方の渦輪にとって外部速度場である。そのため、各渦輪のインパルスは相互に変化しうる。これは、渦輪同士の追い越し、衝突、結合、反発といった現象の基礎になる。
また、壁面近傍の渦輪では、壁面条件を満たすための鏡像渦が外部速度場を作る。これにより、渦輪は壁面から力を受けたかのように運動する。実際には壁面の効果は圧力場を通じて伝わるが、インパルスの観点では、外部速度場による渦力として整理できる。
このように、今節の理論は、渦輪の相互作用や境界との干渉を数式的に扱うための基盤となる。
まとめ
今回の要点は、次のように整理できる。孤立渦とは、有限領域に渦度が閉じ込められ、その外側が渦なしの流れになっている渦構造である。孤立渦に対しては、渦領域 $V_v$ 上の積分としてインパルス
$$
\B{I}_v = \frac{1}{2} \int_{V_v} \B{x}\times\B{\omega}\,\diff V
$$
および角運動量インパルス
$$
\B{A}_v = -\frac{1}{2} \int_{V_v} x^2\B{\omega}\,\diff V
$$
を定義できる。速度場は、渦自身が作る速度場 $\B{u}_v$ と、他の渦・物体・境界が作る外部速度場 $\B{u}_e$ に分解される。渦自身が作る速度場は、渦全体のインパルスを変化させない。孤立渦のインパルスを変えるのは、外力と外部速度場である。その時間変化は
$$
\frac{\diff \B{I}_v}{\diff t} = \int_{V_v}\B{F}\,\diff V
+\int_{V_v}\B{u}_e\times\B{\omega}\,\diff V
$$
で表される。同様に、角インパルスの変化は、外力のモーメントと外部速度場による渦力のモーメントによって決まる。
この理論は、渦輪の相互作用、壁面近傍の渦運動、物体後流中の渦構造などを理解するための基本的枠組みである。孤立渦のインパルスは、渦を単なる局所的な回転領域としてではなく、外部環境と力学的に相互作用する一つの運動単位として捉えるための概念となる。
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