渦度とビオ・サバールの法則

　速度場 $\B{u}(\B{x})$ は渦度 $\B{\om}$ と、ビオ・サバールの法則を通してこのように記述できる。

今回はこのように記述できる理由について説明する。

ベクトルポテンシャルとポアソン方程式の導入

　まず、流体が非圧縮性のとき、その速度場 $\B{u}$ は以下の関係を満たす。

$$
\begin{split}
\div \B{u} = \nabla \cdot \B{u} = 0
\end{split} \tag{1}
$$

次に、以下の性質を持つベクトルポテンシャル $\B{A}$ を導入する。

$$
\begin{split}
\B{u} = \nabla \times \B{A}
\end{split} \tag{2}
$$

さらに、$\B{A}$ に

$$
\begin{split}
\nabla \cdot \B{A} = 0
\end{split} \tag{3}
$$

という条件を課すことにする。

　以上を渦度の定義に適用すると、

$$
\begin{split}
\B{\om} &= \nabla \times \B{u} \EE
&= \nabla \times (\nabla \times \B{A}) \EE
&= \nabla (\nabla \cdot \B{A})-\nabla^2 \B{A} \EE
\therefore\,\, \nabla^2 \B{A} &= -\B{\om}
\end{split} \tag{4}
$$

となってポアソン方程式が得られる。

ビオ・サバールの法則：渦度から速度場を導く

　天下り的ではあるが、(4)で得たポアソン方程式の解はこのようになることが知られている。

$$
\begin{split}
\B{A}(\B{x}) &= \ff{1}{4\pi}\int_V \ff{\B{\om}(\B{\xi})}{ |\B{x}-\B{\xi}| } \diff \B{\xi} \EE
\end{split}
$$

両辺の回転を取ると(2)より、

$$
\begin{split}
\B{u}(\B{x}) &= \nabla \times \B{A}(\B{x}) \EE
&= \ff{1}{4\pi}\int_V \B{\om}(\B{\xi})\,\,\nabla_{\B{x}} \times\left( \ff{1}{ |\B{x}-\B{\xi}| }\right) \diff \B{\xi} \EE
&= \ff{1}{4\pi}\int_V \ff{\B{\om}(\B{\xi})\times(\B{x}-\B{\xi}) }{|\B{x}-\B{\xi}|^3} \diff \B{\xi}
\end{split}
$$

となって、渦度から速度場を導く式が得られる。

　上の形から見て取れるように、上式はビオ・サバールの法則と全く同じ形をしている。