対向する流れが接する面など、理想流体においては渦度が無限大になる面が存在することができる。この面では、速度場の接線成分が不連続となる面を与えるため、渦層と呼ばれる。
ここでは、渦層を「渦度が“面”に押しつぶされて集中した極限モデル」として考えることにしよう。
今、渦層の渦度 $\B{\om}$ は以下の様に表せ、そしてこのような性質を満たす。ただし、$\B{n}$ は渦層に対する法線方向ベクトル、$\delta(\B{n})$ はデルタ関数、$\B{\ka}$ は渦層上の渦度ベクトルとする。（３つ目の式は渦度のソレノイダル性から従う。）
$$
\left\{
\begin{split}
&\, \B{\om} = \B{\ka}\,\delta(\B{n}) \EE
&\, \B{\ka}\cdot \B{n} = 0 \EE
& \div\,\B{\ka} = 0
\end{split}
\right.
$$
なお、$\div \, \B{\ka} = 0$ の帰結として、渦層は閉じているかあるいは境界線上で終わることが言える。（ヘルムホルツの渦定理も参照）
渦層により誘導される速度場について
今度は、渦層により周囲の点 $\B{x}$ に誘導される速度場を考えよう。これは、ビオ・サバールの法則の結果を面積分に置き換えることで、
$$
\begin{split}
\B{u}(\B{x}) = \ff{1}{4\pi} \int_S \ff{\B{\ka}\times (\B{x}-\B{\xi}) }{|\B{x}-\B{\xi}|^3}\,\diff \B{\xi}
\end{split} \tag{1}
$$
であることが言える。なお、$\B{\xi}$ は渦層上の任意の点であるとする。
渦層における速度場の極限値について
(1)で問題となるのは、渦層上の点における速度である。これを考えるに当たり、$P$ を渦層の外部にある点、$Q$ を渦層上のある点としよう。また、簡単のため $\B{r} = \B{x}(P)-\B{\xi} $ と表記することにする。すると、(1)はこのように書ける。
$$
\begin{split}
\B{u}(P) = \ff{1}{4\pi} \int_{S} \B{\ka}\times \ff{ \B{r} }{|\B{r}|^3}\,\diff \B{\xi}
\end{split} \tag{2}
$$
ここでテクニックとして、$\B{\ka}$ を点 $Q$ からの寄与とそれ以外の値に分離しよう、つまり、
$$
\begin{split}
\B{\ka} = \B{\ka}(Q)+\big(\B{\ka}-\B{\ka}(Q) \big)
\end{split}
$$
を導入すると(2)はこのようにできる。
$$
\begin{split}
\B{u}(P) = \ff{\B{\ka}(Q)}{4\pi}\times \int_{S} \ff{ \B{r} }{|\B{r}|^3}\,\diff \B{\xi}+\ff{1}{4\pi} \int_{S_{vs}} \big(\B{\ka}-\B{\ka}(Q) \big)\times \ff{ \B{r} }{|\B{r}|^3}\,\diff \B{\xi}
\end{split} \tag{3}
$$
第2項については $P\to Q$ としても一意の極限を持つので計算上の障害にはならない。計算上の困難は第１項の部分に現れている。$P\to Q$ の近づけ方により第１項の極限値が変わるためである。
第１項の振る舞いを見ていこう。これを考えるに当たり、$Q$ を原点とする局所座標を導入して、接平面を $\zeta=0$、単位法線ベクトル $\B{n}_Q$ と設定する。また、$P=(0,0,h), \B{\xi}=(\xi,\eta,0)$ とすると、$\B{r} = (-\xi, -\eta, h) ,\, \B{r}^2 = \xi^2+\eta^2+h^2 $ とできる。
これらを用いると、第１項の積分をこのようにできる。
$$
\begin{split}
I &= \int_{S} \ff{ \B{r} }{|\B{r}|^3}\,\diff \B{\xi} \EE
&= \int_{S} \ff{(-\xi,-\eta, h)}{(\xi^2+\eta^2+h^2)^{3/2}} \diff \xi\,\diff \eta
\end{split}
$$
$-\xi, -\eta$ についての結果は、被積分関数が奇関数であるため $0$ となる。よって、$h$ についての積分すなわち、
$$
\begin{split}
I &= \B{n}_Q \int_{S_{vs}} \ff{h}{(\xi^2+\eta^2+h^2)^{3/2}} \diff \xi\,\diff \eta
\end{split}
$$
を計算すれば良いと言える。
ここに、極座標を導入して $\xi = \rho \cos\q, \eta = \rho \sin \q$ で表すとする。その上で積分を実行すると、
$$
\begin{split}
I &= \B{n}_Q \int_0^{2\pi} \int_{0}^{\infty} \ff{h\rho}{(\rho^2+h^2)^{3/2}} \diff \rho\,\diff \q \EE
&= 2\pi h\,\B{n}_Q \int_0^{\infty} \ff{\rho}{(\rho^2+h^2)^{3/2}} \diff \rho \EE
&= 2\pi h\,\B{n}_Q \left[ \ff{-1}{\sqrt{\rho^2+h^2}} \right]_0^\infty \EE
&= \ff{2\pi h}{|h|}\B{n}_Q \EE
&=
\left\{
\begin{split}
2\pi \B{n}_Q \quad(h\to 0^+) \EE
-2\pi \B{n}_Q \quad(h\to 0^-)
\end{split}
\right.
\end{split}
$$
とできる。
ここまでの結果を(3)の第１項に適用すると、
$$
\begin{split}
\ff{\B{\ka}(Q)}{4\pi}\times \int_{S_{vs}} \ff{ \B{r} }{|\B{r}|^3}\,\diff \B{\xi} &= \ff{\B{\ka}(Q)}{4\pi}\times I \EE
&= \pm\ff{1}{2} \B{\ka}(Q)\times \B{n}_Q
\end{split}
$$
であることが分かる。さらに、第２項の極限値を $\B{q}_Q$ とすると(3)は最終的に、
$$
\begin{split}
\lim_{P\to Q} \B{u}(P) &= \pm\ff{1}{2} \B{\ka}(Q)\times \B{n}_Q+\B{q}_Q
\end{split} \tag{4}
$$
とできる。
渦層を挟んだ速度の跳躍について
渦層を挟んだ両側からの極限値を $\B{u}_1(Q), \B{u}_2(Q)$ としたなら、(4)より
$$
\left\{
\begin{split}
\B{u}_1(Q) &= \ff{1}{2} \B{\ka}(Q)\times \B{n}_Q+\B{q}_Q \EE
\B{u}_2(Q) &= -\ff{1}{2} \B{\ka}(Q)\times \B{n}_Q+\B{q}_Q
\end{split}
\right.
$$
と書ける。したがって、渦層を挟んだ速度の跳躍は、
$$
\begin{split}
[\B{u}(Q)]_1^2 &= \B{u}_1(Q)-\B{u}_2(Q) = \B{\ka}(Q)\times \B{n}_Q
\end{split}
$$
と計算できる。ただし、$[f]_1^2$ はある境界を挟んだ $f$ の跳躍量を表す記法と約束する。この結果は渦層に関して最も重要な結果の一つである。
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