今回は「渦層の強さを、速度ポテンシャルの跳びで表せる」こと、そして「渦層の流れは、双極子の面分布で表せる」ということを説明しよう。つまり、渦層 = 接線速度が跳ぶ面 = ポテンシャルが不連続に跳ぶ面 = 双極子面分布であることを意味する。
渦層を挟んだ流体の速度ポテンシャル差
ここでは、渦層の両側が渦無し流れであると仮定する。つまり、速度ポテンシャル $\phi_1, \phi_2$ を用いることで、
$$
\left\{
\begin{split}
& \B{u}_1 = \nabla \phi_1 \EE
& \B{u}_2 = \nabla \phi_2
\end{split}
\right.
$$
とできる。これらの速度ポテンシャルが渦層をまたいでどのような関係で結びつくのかについて考えよう。
では、渦層上のある基準点 $O$ から渦層上のある点 $Q$ までの、渦層に沿った経路 $𝛾$ を取る。このとき、各側で
$$
\begin{split}
\phi_i(Q)-\phi_i(O) = \int_\gamma \B{u}_i \cdot\,\diff \B{s}
\end{split}
$$
が成り立つ。したがって、渦層を挟んだ両サイドの速度ポテンシャル差は、
$$
\begin{split}
(\phi_2(Q)-\phi_1(Q))-(\phi_2(O)-\phi_1(O)) = \int_\gamma (\B{u}_2-\B{u}_1) \cdot\,\diff \B{s}
\end{split}
$$
の形で表せる。今、$\phi_1(O) = \phi_2(O) = 0$ と設定すると、
$$
\begin{split}
\phi_2(Q)-\phi_1(Q) = \int_\gamma (\B{u}_2-\B{u}_1) \cdot\,\diff \B{s}
\end{split} \tag{1}
$$
とできる。さらに、渦層の強さを $\B{\ka}$ 渦層に対する法線ベクトルを $\B{n}$ としたなら、
$$
\begin{split}
\B{u}_2-\B{u}_1 = \B{\ka}\times \B{n} = [\B{u}]_1^2
\end{split}
$$
の関係があるから（渦層を挟んだ速度の跳躍についてを参照）、(1)は、
$$
\begin{split}
\phi_2(Q)-\phi_1(Q) = \int_\gamma [\B{u}]_1^2 \cdot\,\diff \B{s} = \int_\gamma (\B{\ka}\times \B{n}) \cdot\,\diff \B{s}
\end{split} \tag{2}
$$
とできる。
渦層の双極子の面分布としての表現
ところで、位置 $\B{\xi}$ にある双極子モーメント $\B{m}$ が作る速度ポテンシャルの、位置 $\B{x}$ での様子は、
$$
\begin{split}
\phi(\B{x}) = -\ff{\B{m}}{4\pi}\cdot\,\ff{\B{x}-\B{\xi}}{|\B{x}-\B{\xi}|^3}
\end{split} \tag{3}
$$
と表せる。
今、渦層の微小な面要素 $\diff S$ を考えて、これの法線方向 $\B{n}$ を向いた双極子を考えるよう。このとき、双極子モーメントは、
$$
\begin{split}
\B{m} = (\phi_2-\phi_1)\, \B{n}\,\diff S
\end{split} \tag{4}
$$
とできる。
この双極子が渦層全体に分布しているわけだから、渦層は双極子の積分としてこのように表せる。
$$
\begin{split}
\phi(\B{x}) = -\ff{1}{4\pi}\int_S \big((\phi_2-\phi_1)\B{n}\big)\cdot \ff{\B{x}-\B{\xi}}{|\B{x}-\B{\xi}|^3} \diff S
\end{split}
$$
以上にて渦層を、速度ポテンシャルと双極子の面分として表現できることを示した。
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