一般化ベルヌーイの方程式

　流体のエネルギー保存則を記述するものとして、最もよく知られているのは以下のベルヌーイの定理であろう。

$$
\begin{split}
p+\ff{1}{2}\rho|\B{u}|^2+\rho g h = const.
\end{split}
$$

　この定理は、理想流体の渦無しの定常流、かつ外力が保存力のみしか作用していない場合の、同一流線上で成立するものであることに注意が必要である。

　今回は、ベルヌーイの定理の前提条件をいくつか外して”一般化したベルヌーイの定理”＝ベルヌーイの方程式について説明する。

ベルヌーイの方程式

　まずは、一様密度の理想流体について考えよう。また、密度一定のため $\rho = 1$ としても一般性は失わない。このとき、流体に対しては、以下のオイラーの運動方程式が成立する。

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{u}}{\del t}+(\B{u}\cdot \nabla)\B{u} = -\nabla p+\B{f}
\end{split}
$$

左辺第２項の対流項を渦度方程式の計算過程を用いて書き換え、移項すると、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{u}}{\del t}+\left( \ff{1}{2} \nabla|\B{u}|^2-\B{u}\times \B{\om}\right) = -\nabla p+\B{f} \EE
\therefore\,\,\ff{\del \B{u}}{\del t} = -\nabla \left( p+\ff{1}{2} |\B{u}|^2 \right)+\B{u}\times \B{\om}+\B{f}
\end{split} \tag{a}
$$

が得られる。

　さらに、流れが定常流 $\DL{\ff{\del \B{u}}{\del t} = \B{0}}$ かつ、外力が保存力 $\B{f} = -\nabla U$ であるとすると上式はさらに、

$$
\begin{split}
\nabla \left( p+\ff{1}{2} |\B{u}|^2+U \right) = \B{u}\times \B{\om}
\end{split} \tag{1}
$$

と書き換えられる。

　ここで、左辺の中身についてを、ベルヌーイの方程式（理想流体かつ外力が保存力の場合の、同一流線上でのエネルギー保存則）と呼ぶ。

さらに、$H$ は各流線に沿って一定のため、ベルヌーイ定数と呼ばれる。また、これらから

$$
\begin{split}
\nabla H = \B{u}\times \B{\om}
\end{split} \tag{3}
$$

であることが言える。

ベルヌーイの方程式の非定常流への拡張

　さて、流れが渦無し流れ（$\rot\,\B{u} = \B{\om} = \B{0}$）である場合、非定常流にもベルヌーイの方程式を拡張できる。いま、渦無し流れのため、流れ場は速度ポテンシャルと呼ばれるスカラー $\phi$ を用いて、

$$
\begin{split}
\B{u} = \nabla \phi
\end{split}
$$

とできる。これらの条件下、(a) を整理するとこのようになる。

$$
\begin{split}
\ff{\del (\nabla \phi)}{\del t} = -\nabla \left( p+\ff{1}{2} |\B{u}|^2+U \right) \EE
\therefore \nabla \left( \ff{\del \phi}{\del t}+p+\ff{1}{2} |\B{u}|^2+U \right) = 0
\end{split}
$$

　ゆえに、時間 $t$ についての任意関数 $F(t)$ を用いると

$$
\begin{split}
\ff{\del \phi}{\del t}+p+\ff{1}{2} |\B{u}|^2+U = F(t)
\end{split} \tag{4}
$$

という関係が導ける。これは渦無しの非定常流に対する、ベルヌーイの方程式の拡張となる。