線渦が誘導する速度場について

　渦度が曲線上に集中しているようなものを線渦と呼ぶ。また、線渦が貫く閉曲線周りの循環は有限となるとする。このとき、線渦の循環 $\G$ を用いると線渦の渦度は次の様に表現できる。

$$
\begin{split}
\B{\om} = \G\,\delta(\B{n})\delta(\B{b})\,\B{t}
\end{split} \tag{1}
$$

ただし、$\B{n},\B{b},\B{t}$ はそれぞれ、曲線の法線、従法線、接線の単位ベクトルとする。

　なお、渦菅の断面を $S_{\perp}$ とすると、渦菅周りの循環は、

$$
\begin{split}
\G = \int_{S_{\perp}} \B{\om}\cdot \B{t}\,\diff S
\end{split} \tag{2}
$$

と表される。

空間曲線とフレ・セレネの公式

　ところで、空間曲線 $\B{x} = \B{R}(s)$ について考えると、フレ・セレネの公式から以下が言える。（$\rho$ は曲率半径、$\tau = \DL{ \ff{\diff \B{n}}{\diff s}\cdot \B{b} }$ は捩率）

$$
\left\{
\begin{split}
&\, \ff{\diff \B{t}}{\diff s} = \ff{\B{n}}{\rho} \EE
&\, \ff{\diff \B{n}}{\diff s} = -\ff{\B{t}}{\rho}+\tau\,\B{b} \EE
&\, \ff{\diff \B{b}}{\diff s} = \tau\,\B{n} \EE
&\, \tau = \ff{(\B{R}^{(1)}\times \B{R}^{(2)})\cdot \B{R}^{(3)}}{| \B{R}^{(1)}\times \B{R}^{(2)}|^2} \EE
&\, \ff{1}{\rho} = \ka = \ff{| \B{R}^{(1)}\times \B{R}^{(2)}|}{| \B{R}^{(1)}|^3}
\end{split}
\right.
$$

線渦が誘導する速度場について

導出過程

　まず、非圧縮流体内のある位置 $\B{x}$ における速度場は、ビオ・サバールの公式と渦度を通して以下のように記述できる。

$$
\begin{split}
\B{u}(\B{x}) &= \ff{1}{4\pi}\int_V \ff{\B{\om}(\B{\xi})\times(\B{x}-\B{\xi}) }{|\B{x}-\B{\xi}|^3}\, \diff \B{\xi}
\end{split} \tag{3}
$$

これを線渦に適用して、線薄が誘導する速度場を求めていく。

　まず、線渦に沿った座標を $s$、線渦の断面積を $\diff S_{\perp}$ とすると、微小な体積要素は、

$$
\begin{split}
\diff \B{\xi} = \diff S_{\perp} \diff s
\end{split}
$$

とできる。

　線渦の空間曲線を $\B{R}(s)$ と表すと、線渦上では $\B{\xi} = \B{R}(s)$ とできる。また、渦度ベクトルも接線方向 $\B{t}(s)$ を向いていると近似できるので、

$$
\begin{split}
\B{\om}(\B{\xi})\diff \B{\xi} = \B{\om}\,\diff S_{\perp}\,\diff s
\end{split}
$$

の関係を見出せる。

　さて、渦度ベクトルを線渦の接線方向と法線方向（＝横方向）に分解するとこのようにできる。

$$
\begin{split}
\B{\om} = (\B{\om}\cdot \B{t})\B{t}+\B{\om}_{\perp}
\end{split}
$$

これを線渦の断面 $S_{\perp}$ で積分すると、

$$
\begin{split}
\int_{S_{\perp}} \B{\om}\, \diff S_{\perp} &= \B{t} \int_{S_{\perp}} (\B{\om}\cdot \B{t})\, \diff S_{\perp}+\int_{S_{\perp}} \B{\om}_{\perp}\, \diff S_{\perp} \EE
&= \G \B{t}+\int_{S_{\perp}} \B{\om}_{\perp}\, \diff S_{\perp}
\end{split}
$$

となるが、線渦の性質から横方向成分の寄与は無視できるので、

$$
\begin{split}
\int_{S_{\perp}} \B{\om}\, \diff S_{\perp} &≈ \G \B{t}
\end{split}
$$

が得られる。

　ここまでをまとめると、

$$
\begin{split}
\B{\om}(\B{\xi})\diff \B{\xi} ≈ \G \B{t}\, \diff s
\end{split}
$$

が得られる。また、$\B{\xi}=\B{R}(s)$ であることも思い出すと、(3)はこのようになる。

$$
\begin{split}
\B{u}(\B{x}) &= \ff{1}{4\pi}\oint \ff{ (\G\B{t}\, \diff s)\times(\B{x}-\B{R}) }{|\B{x}-\B{R}|^3} \EE
&= \ff{\G}{4\pi}\oint \ff{ \diff \B{R}\times(\B{x}-\B{R}) }{|\B{x}-\B{R}|^3}
\end{split} \tag{4}
$$

ところで、ベクトル解析の公式として $\nabla \times(\phi \B{a}) = \nabla\phi\times \B{a}+\phi(\nabla\times \B{a})$ が成立するが、ここに、$\DL{ \phi(\B{x}) = \ff{1}{|\B{x}-\B{R}|},\, \B{a} = \diff \B{R} }$ とすると、$\diff \B{R}$ は $\B{x}$ に依存しないので、

$$
\begin{split}
\nabla_x \times \diff \B{R} = \B{0}
\end{split}
$$

と言える。よって、

$$
\begin{split}
\nabla_x \times \left( \ff{\diff \B{R}}{|\B{x}-\B{R}|} \right) = \nabla_x\left( \ff{1}{|\B{x}-\B{R}|} \right)\times \diff \B{R}
\end{split}
$$

が成り立つ。そして、$ \nabla_x\left( \ff{1}{|\B{x}-\B{R}|} \right) = \ff{\B{x}-\B{R}}{|\B{x}-\B{R}|^3}$ であるから、

$$
\begin{split}
\nabla_x \times \left( \ff{\diff \B{R}}{|\B{x}-\B{R}|} \right) = \ff{ \diff \B{R}\times(\B{x}-\B{R}) }{|\B{x}-\B{R}|^3}
\end{split}
$$

であることが言える。ゆえに、(4)は、

$$
\begin{split}
\B{u}(\B{x}) &= \ff{\G}{4\pi}\, \rot \left( \oint \ff{ \diff \B{R} }{|\B{x}-\B{R}|} \right)
\end{split} \tag{5}
$$

ともできるのである。