粘性の効果―流体力学的インパルスは粘性で失われるのか？

問題の所在

渦運動を記述するうえで、流体力学的インパルスは重要な役割を持つ。具体的には、無限領域に局在した渦度場を考えるとき、通常の運動量は必ずしも合理的に定義できない問題があるため、渦度を用いて定義される以下の流体力学的インパルス

$$
\B{I} = \frac{1}{2}\int \B{x}\times \B{\omega}\,\diff V
$$

を用いることで、局在した渦運動の「運動量に相当する量」を考えることが出来る。

さて、ここで素朴な疑問が生じる。それは、「非粘性流体では保存されるこの量は、粘性を導入したときにも保存されるのか？ 」という問題である。粘性は渦度を拡散させ、運動エネルギーを散逸させる。したがって、インパルスもまた減衰するのが自然に思われる。

しかし、結論は意外である。無限領域の一様密度流体では、粘性が存在しても流体力学的インパルス $\B{I}$ と角運動量インパルス $\B{A}$ の不変性は保たれる。

今回は、このことについて説明する。

粘性を含む運動方程式

さて、一様密度の非圧縮性流体に対するナビエ–ストークス方程式は、次の形で書かれる。

$$
\frac{D\B{u}}{Dt} = -\nabla p+\nu \nabla^2 \B{u}+\B{F}
$$

ここで、$\B{u}$ は速度、$p$ は密度で割った圧力、$\B{F}$ は外力、$\nu$ は動粘性係数である。左辺第２項

$$
\nu \nabla^2 \B{u}
$$

が粘性項である。この式を見ると、粘性項は一種の体積力のようにも扱えると考えれらる。すなわち、粘性は速度場に対して

$$
\B{F}_{\nu} = \nu \nabla^2 \B{u}
$$

という追加の力を及ぼしている、とも解釈できる。問題は、この「粘性による体積力」が、流体力学的インパルスや角インパルスの時間変化に寄与するかどうかである。

流体力学的インパルスの時間変化

さて、流体力学的インパルスは

$$
\B{I} = \frac{1}{2} \int \B{x}\times \B{\omega}\,\diff V
$$

で定義される。非粘性流体の場合、非保存的外力が存在しなければ、この量は保存される。これは納得できるであろう。

次に、粘性がある場合だが、粘性項を外力の一部とみなして、その寄与を調べればよい。インパルスの時間変化に対して粘性項が寄与するならば、次のような追加の積分が現れるはずである。

$$
\int \nu \nabla^2 \B{u}\,\diff V
$$

したがって、問題は

$$
\int \nabla^2 \B{u}\,\diff V
$$

が無限領域でど振舞うのかという問題に帰着される。これを調べるために、ガウスの定理を用いると、

$$
\int \nabla^2\B{u}\,\diff V = \int (\B{n}\cdot\nabla)\B{u}\,\diff S
$$

の形に変形される。ここで $\B{n}$ は境界面の外向き法線である。無限遠で速度が十分速く減衰する局在渦度場では、この表面積分はゼロになる。したがって、

$$
\int \nabla^2\B{u}\,\diff V=0
$$

であり、粘性項は流体力学的インパルスの時間変化に寄与しない。結論として、無限領域に局在した三次元渦運動では、粘性は流体力学的インパルスを変化させない。粘性は渦核を広げ、速度分布を変形し、エネルギーを散逸させるが、全体としてのインパルスは保存されるのである。

角インパルスの場合

角インパルスは、流れを静止状態から瞬間的に生成するために必要な衝撃力のモーメントに対応する量である。角インパルスもまた無限領域において保存量として扱われる。粘性項が角インパルスに与える寄与を見るには、次の積分について考える必要がある。

$$
\int \B{x}\times \nabla^2\B{u}\,\diff V
$$

これも次の表面積分に変形される。

$$
\int \B{x}\times \nabla^2\B{u}\, \diff V = -\int \B{\omega}\,\diff V
-\int \B{x}\times(\B{n}\cdot\nabla)\B{u}\,\diff S
$$

無限領域で速度場が十分速く減衰する場合、右辺は消える。したがって、粘性項は角インパルスの時間変化にも寄与しない。

つまり、粘性があっても、三次元無限領域における角インパルスは保存される。

ここで重要なのは、粘性が「何もしていない」わけではないという点である。粘性は速度勾配をならし、渦度を拡散させ、運動エネルギーを散逸させる。しかし、その作用は全体として見れば、流体力学的インパルスおよび角インパルスを変化させるような正味の寄与を持たないのである。

粘性によりインパルスはなぜ失われないのか？

粘性は局所的には運動量を拡散させる。

ある場所での速度差を小さくし、渦度分布を広げる。しかし、無限領域全体を考えれば、粘性は内部的な再分配として働く。

これは熱伝導に似ている。熱伝導は局所的な温度差をならすが、外部へ熱が逃げなければ全熱量は保存される。同様に、粘性は運動をならすが、無限領域全体に対するインパルスを消滅させるわけではない。さて、数式的には、粘性項がラプラシアン

$$
\nabla^2\B{u}
$$

として現れることがこの議論の本質部分である。ラプラシアンの体積積分は、境界面での勾配の積分へと変換される。ところが、局在した渦運動では、無限遠における速度とその勾配が十分に小さくなるため、この境界項は消える。

ゆえに、粘性による寄与は「全空間で積分するとゼロ」になる。これが、粘性が存在してもインパルスが保存される理由である。

エネルギー散逸との違い

ここで注意すべき点は、インパルスの保存とエネルギーの保存は別問題だということである。

粘性流体では、運動エネルギーは一般に保存されない。粘性は速度勾配を通じて運動エネルギーを熱へ変換する。エネルギー散逸率は、速度勾配や渦度の二乗に関係する量として現れる。

一方、インパルスは渦度の一次モーメントに相当する量である。粘性によって渦度分布は広がるが、その全体的な一次モーメントは保存される。このため、エネルギーは減少しても、インパルスは減少しないという状況が成立する。

渦輪を例に取れば、粘性によって渦核は太くなり、循環分布はなめらかになり、進行速度も変化しうる。しかし、外力がなく無限領域中に孤立している限り、流体力学的インパルスは保存される。これは、粘性渦輪の長時間発展を考えるうえで重要な制約である。

二次元流れにおける注意点

二次元流れについては、重要な注意点がある。それは、三次元の場合とは異なり、二次元流れでは

$$
\int \B{\omega}\,\diff V
$$

に相当する量が必ずしもゼロにならない。そのため、粘性が存在すると角インパルスが保存されない場合がある。

これは、二次元渦運動の特殊性に由来する。三次元では有限な渦度分布に対して、渦線は閉じているか無限遠へ適切に減衰するため、全渦度の体積積分がゼロになる。一方、二次元流れでは渦度は面に垂直なスカラー量として振る舞い、点渦や渦斑のように全循環が非ゼロの対象を自然に扱うことができる。

その結果、二次元では粘性拡散が角インパルスに有限の影響を及ぼす場合がある。三次元で成立した議論を、そのまま二次元へ移すことはできない。

この点は、二次元渦と三次元渦を比較する際に非常に重要である。二次元流れは解析しやすく、多くの理論モデルで用いられるが、インパルスや角インパルスの保存性については、三次元とは異なる性質を持つのである。

物理的な解釈

上の結果は、粘性の役割を整理するうえで有用である。

粘性は局所構造を変える。渦核は拡散し、速度勾配はなだらかになり、運動エネルギーは散逸する。しかし、無限領域に孤立した三次元渦運動では、粘性は全体のインパルスや角インパルスを変化させない。

言い換えれば、粘性は「形」を変えるが、「全体としての力学的な痕跡」を消すわけではない。

この性質は、渦輪のような局在渦の理解にとって重要である。渦輪は粘性によって拡散しながらも、一定のインパルスを保つ。そのため、渦輪の半径、渦核半径、進行速度、循環分布などは相互に調整されながら時間発展する。単に「粘性があるから渦は弱くなる」と考えるだけでは不十分である。

粘性流体中の渦運動では、保存される量と散逸する量を区別しなければならない。エネルギーは散逸するが、インパルスは保存される。この対比こそが、粘性渦運動の理解における中心的なポイントである。

まとめ

今回の要点は、次のように整理できる。無限領域の一様密度流体では、粘性が存在しても流体力学的インパルスは保存される。

$$
\B{I} = \frac{1}{2} \int \B{x}\times\B{\omega}\,\diff V
$$

は、粘性項によって変化しない。同様に、三次元の角インパルスも、無限遠で速度場が十分に減衰する限り、粘性によって変化しない。その理由は、粘性項

$$
\nu\nabla^2\B{u}
$$

の全空間積分が表面積分に変換され、無限遠で消えるためである。

ただし、二次元流れでは事情が異なる。全渦度が必ずしもゼロにならないため、粘性によって角インパルスが保存されない場合がある。

したがって、粘性の効果は単純に「保存量を壊すもの」と理解すべきではない。粘性はエネルギーを散逸させ、渦構造を拡散させるが、三次元無限領域における流体力学的インパルスと角インパルスの保存性は保たれる。この事実は、粘性渦輪や孤立渦の時間発展を考えるうえで、基本的な制約条件となるのである。