循環とケルビンの循環定理

循環とは？

　速度場を $\B{u}$ として、以下の周回積分により計算される物理量を循環と呼ぶ。

　ここに、$C$ は閉曲線であり、$\diff \B{s}$ は $C$ 上の線素であるとする。つまり、$\B{u}\cdot \, \diff \B{s}$ は線素と平行な速度成分を取り出す操作と言えて、したがって、循環 $\G$ は $C$ に沿った速度の総和であると言える。

　また、$C$ の囲む面積を $S$、$\B{n}$ を $S$ の単位法線ベクトルとして、ストークスの定理を適用すると、

$$
\begin{split}
\G &= \oint_C \B{u}\cdot\, \diff \B{s} \EE
&= \iint_S \left( \nabla\times \B{u} \right)\cdot \B{n}\,\diff S \EE
&= \iint_S \B{\om}\cdot \B{n}\,\diff S
\end{split}
$$

と $C$ 内における渦度 $\B{\om}$ の総和として循環を見ることも出来るのである。

ケルビンの循環定理とは？

　次に、ケルビンの循環定理について紹介しよう。ケルビンの循環定理の内容は以下の通りである。

ケルビンの循環定理の証明

　ケルビンの循環定理の証明を行うにあたり、いくつかのステップを経る。まず、前提条件の非粘性・バロトロピー流体という仮定から、流体の支配方程式は以下のオイラーの運動方程式と言えて、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{u}}{\del t}+(\B{u}\cdot\nabla)\B{u} = -\ff{1}{\rho}\nabla p+\B{f}
\end{split}
$$

また、外力が保存力であるという仮定から、ポテンシャルエネルギー $U$ を用いて $\B{f}=\nabla U$ とできる。したがって、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{u}}{\del t}+(\B{u}\cdot\nabla)\B{u} = -\ff{1}{\rho}\nabla p+\nabla U = -\nabla \left( \ff{p}{\rho}-U \right)
\end{split}
$$

となる。また、左辺は物質微分との対応で、$\DL{ \ff{D \B{u}}{D t} = \ff{\del \B{u}}{\del t}+(\B{u}\cdot\nabla)\B{u} }$ の関係にあるため、、

$$
\begin{split}
\ff{D \B{u}}{D t} = -\nabla \left( \ff{p}{\rho}-U \right)
\end{split} \tag{1}
$$

となる。

　第２ステップとして、$\DL{ \ff{D \G}{D t} }$ の計算を行う。これは循環の定義も適用することで、

$$
\begin{split}
\ff{D \G}{D t} &= \ff{D}{D t} \oint_C \B{u}\cdot\, \diff \B{s} \EE
&= \oint_C \ff{D}{D t} (\B{u}\cdot \diff \B{s}) \EE
&= \oint_C \ff{D \B{u}}{D t}\cdot\, \diff{s}+\oint_C \B{u}\cdot \ff{D\,\diff \B{s}}{D t}
\end{split}
$$

右辺第１項に(1)を適用すると、

$$
\begin{split}
\oint_C \ff{D \B{u}}{D t}\cdot\, \diff{s} &= -\oint_C \nabla \left( \ff{p}{\rho}-U \right)\cdot\, \diff{s} \EE
&= -\nabla \oint_C \left( \ff{p}{\rho}-U \right)\cdot\, \diff{s}
\end{split}
$$

とできて、$p, U$ については閉曲線を一周すると元の値に戻るため、上の周回積分の結果は $0$ となる。

　次に、右辺第２項の計算を行いたいが、問題となるのは、

$$
\begin{split}
\ff{D\,\diff \B{s}}{D t}
\end{split} \tag{2}
$$

の理解である。遠回りにはなるが、これについて考えていこう。

・$\DL{ \ff{D\,\diff \B{s}}{D t} }$ について

　まず、閉曲線上のある点の位置ベクトル $\B{a}$ については座標、$\B{x}=(x_1,x_2,x_3)$ を用いて、

$$
\begin{split}
\B{a}(\B{x})
\end{split}
$$

と表せる。そして、$\B{a}$ を物質微分すると、

$$
\begin{split}
\ff{D \B{a}}{D t} &= \ff{ \del \B{x}}{\del t}+(\B{u}\cdot \nabla) \B{x} \EE
&= \B{0}+\B{u} \EE
&= \B{u}
\end{split}
$$

とできる。さて、$\diff \B{s}=(\B{a}+\diff \B{a})-\B{a}$ としたなら、上の物質微分については、

$$
\begin{split}
\ff{D \diff\B{s}}{D t} &= \ff{D \big((\B{a}+\diff \B{a})-\B{a}\big)}{D t} \EE
&= (\B{u}+\diff \B{u})-\B{u} \EE
&= \diff \B{u}
\end{split}
$$

という対応関係があることが導ける。したがって、

$$
\begin{split}
\ff{D\,\diff \B{s}}{D t} = \diff \B{u}
\end{split} \tag{3}
$$

となる。この結果を先程の右辺第２項に適用すると、

$$
\begin{split}
\oint_C \B{u}\cdot \ff{D\,\diff \B{s}}{D t} &= \oint_C \B{u}\cdot\,\diff \B{u} \EE
&= \oint_C \diff \left( \ff{1}{2} |\B{u}|^2 \right) \EE
&= \left[ \ff{1}{2}\B{u} \right]_C
\end{split}
$$

と変形できる。最終行について、流速は閉曲線上を一周すると元の値になるため、計算結果は $\B{0}$ となる。以上より、循環の物質微分は、

$$
\begin{split}
\ff{D\,\G}{D t} = 0
\end{split}
$$

であることが導ける。以上よりケルビンの循環定理が示された。