速度勾配テンソル・変形速度テンソル・渦度テンソル

　今回は速度勾配テンソル、変形速度テンソル、渦度テンソルについて説明する。

　まずは、流体の内部の点 $P$ と、$P$ から $\delta\, \B{x} = (\delta\, x_1,\delta\, x_2,\delta\, x_3)$ だけ離れた位置にある、$P’$ での流速の差 $\delta \B{u}=(\delta u_1, \delta u_2, \delta u_3)$ を考えると、以下の関係が成立すると言える。

$$
\begin{split}
\delta \B{u} = \ff{\del \B{u} }{ \del x_1 } \delta x_1+\ff{\del \B{u} }{ \del x_2 } \delta x_2+\ff{\del \B{u} }{ \del x_3 } \delta x_3
\end{split} \tag{1}
$$

これを行列の形に書き下すと、

$$
\begin{split}
\begin{bmatrix}
\delta u_1 \EE
\delta u_2 \EE
\delta u_3 \EE
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\DL{\ff{\del u_1}{\del x_1} } & \DL{\ff{\del u_1}{\del x_2} } & \DL{\ff{\del u_1}{\del x_3} } \EE
\DL{\ff{\del u_2}{\del x_1} } & \DL{\ff{\del u_2}{\del x_2} } & \DL{\ff{\del u_2}{\del x_3} } \EE
\DL{\ff{\del u_3}{\del x_1} } & \DL{\ff{\del u_3}{\del x_2} } & \DL{\ff{\del u_3}{\del x_3} } \EE
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\delta x_1 \EE
\delta x_2 \EE
\delta x_3 \EE
\end{bmatrix}
\end{split} \tag{2}
$$

とできる。今、

$$
\begin{split}
D=
\begin{bmatrix}
\DL{\ff{\del u_1}{\del x_1} } & \DL{\ff{\del u_1}{\del x_2} } & \DL{\ff{\del u_1}{\del x_3} } \EE
\DL{\ff{\del u_2}{\del x_1} } & \DL{\ff{\del u_2}{\del x_2} } & \DL{\ff{\del u_2}{\del x_3} } \EE
\DL{\ff{\del u_3}{\del x_1} } & \DL{\ff{\del u_3}{\del x_2} } & \DL{\ff{\del u_3}{\del x_3} } \EE
\end{bmatrix}
\end{split} \tag{3}
$$

という行列 $D$ (後で説明するように、$D$ は速度勾配テンソルである)を導入すると、(2)をこのような簡単な形にまとめられる。

$$
\begin{split}
\delta \B{u} = D\, \delta \B{x}
\end{split} \tag{4}
$$

速度勾配テンソル・変形速度テンソル・渦度テンソルの導入

　(3)で導入した行列 $D$ は、(2)の表記を簡単にできるという面もあるが、テンソルと言えることに注目しよう。

　さて、$D$ は２点間の速度勾配を規定するテンソルと言えるため、流体力学においては、速度勾配テンソルと呼ばれる。さらに、技巧的ではあるが、$D$ を転置した $D^T$ を導入するとこのような関係が成立することも言える。

$$
\begin{split}
D = \ff{1}{2}\big(D+D^T\big)+\ff{1}{2}\big(D-D^T\big)
\end{split} \tag{5}
$$

右辺第一項、第二項をそれぞれ計算すると、このようになる。（$\om_1, \om_2, \om_3$ は渦度の成分）

$$
\begin{split}
\text{右辺第一項} = \text{変形速度テンソル} &= \ff{1}{2}\big(D+D^T\big) \\[8pt]
&= \ff{1}{2}
\begin{bmatrix}
\DL{2\ff{\del u_1}{\del x_1} } & \DL{\ff{\del u_1}{\del x_2}+\ff{\del u_2}{\del x_1} } & \DL{\ff{\del u_1}{\del x_3}+\ff{\del u_3}{\del x_1} } \EE
\DL{\ff{\del u_2}{\del x_1}+\ff{\del u_1}{\del x_2} } & \DL{2\ff{\del u_2}{\del x_2} } & \DL{\ff{\del u_2}{\del x_3}+\ff{\del u_3}{\del x_2} } \EE
\DL{\ff{\del u_3}{\del x_1}+\ff{\del u_1}{\del x_3} } & \DL{\ff{\del u_3}{\del x_2}+\ff{\del u_2}{\del x_3} } & \DL{2\ff{\del u_3}{\del x_3} } \EE
\end{bmatrix} \EE
&= \ff{1}{2}E
\end{split} \tag{6}
$$

$$
\begin{split}
\text{右辺第二項} = \text{渦度テンソル} &= \ff{1}{2}\big(D-D^T\big) \\[8pt]
&= \ff{1}{2}
\begin{bmatrix}
0 & \DL{\ff{\del u_1}{\del x_2}-\ff{\del u_2}{\del x_1} } & \DL{\ff{\del u_1}{\del x_3}-\ff{\del u_3}{\del x_1} } \EE
\DL{\ff{\del u_2}{\del x_1}-\ff{\del u_1}{\del x_2} } & 0 & \DL{\ff{\del u_2}{\del x_3}-\ff{\del u_3}{\del x_2} } \EE
\DL{\ff{\del u_3}{\del x_1}-\ff{\del u_1}{\del x_3} } & \DL{\ff{\del u_3}{\del x_2}-\ff{\del u_2}{\del x_3} } & 0 \EE
\end{bmatrix} \\[8pt]
&= \ff{1}{2}
\begin{bmatrix}
0 & -\om_3 & \om_2 \EE
\om_3 & 0 & -\om_1 \EE
-\om_2 & \om_1 & 0 \EE
\end{bmatrix} \EE
&= \ff{1}{2}\Omega
\end{split} \tag{7}
$$

　今、$E$ の対角成分は $x_1,x_2,x_3$ 軸方向の伸びの速度を、非対角成分は $x_1-x_2, x_2-x_3, x_3-x_1$ 軸の成す角が単位時間当たりの変化量（＝せん断変形）を表すことから、$E$ は変形速度テンソルと呼ばれる。また、$\Omega$ の成分に渦度が含まれていることから、$\Omega$ は渦度テンソルと呼ばれる。

　これらのテンソルを導入することで、速度勾配テンソル $D$ はこのように、変形速度テンソルと渦度テンソルの和で表現できることが分かる。

$$
\begin{split}
D = \ff{1}{2}E+\ff{1}{2}\Omega
\end{split} \tag{8}
$$

アインシュタインの総和規約を用いた変形速度テンソル・渦度テンソルの表記

　変形速度テンソル、渦度テンソルの計算や表記を簡単にするため、アインシュタインの総和規約とエディントンのイプシロンによる表記を導入しよう。このとき、$E,\Omega$ の各成分 $e_{ij}, \Omega_{ij}$ はこのように表現できる。

$$
\left\{
\begin{split}
&\, e_{ij} = \ff{\del u_i}{\del x_j}+\ff{\del u_j}{\del x_i} \EE
&\, \Omega_{ij} = \ff{\del u_i}{\del x_j}-\ff{\del u_j}{\del x_i} = -\eps_{ijk}\,\om_k
\end{split}
\right. \tag{9}
$$

なお、$\om_k$ はアインシュタインの総和規約・エディントンのイプシロンによる渦度の表現である。

渦度と回転の関係

　さらに、$\Omega_{ij}$ と $\om_k$ との間の関係から、

$$
\begin{split}
\Omega \,\delta \B{x} = \B{\om}\times \delta \B{x}
\end{split}
\tag{10}
$$

という関係があることも確かめられる。これは、渦度が流体の回転と密接な関係があることの数学的な裏付けの一つである。