ヘルムホルツ方程式とFridman方程式の導出

Fridman方程式の導出

　ヘルムホルツ方程式を導出する準備として、以下のFridman 方程式の導出を行う。

　今、外力 $\B{f}$ の作用下で運動する理想流体に対して、質量保存則に相当する連続方程式と運動量保存則に相当するオイラーの運動方程式を適用すると、

$$
\left\{
\begin{split}
&\, \ff{D \rho}{D t}+\rho\,\div\,\B{u} = \ff{\del \rho}{\del t}+(\B{u}\cdot \nabla)\rho+\rho\,\div\,\B{u} = 0 \quad\,\, (1) \EE
&\, \ff{\del \B{u}}{\del t}+(\B{u}\cdot \nabla)\B{u} = -\ff{1}{\rho}\nabla p+\B{f} \qquad\qquad\qquad\quad\quad(2)
\end{split}
\right.
$$

　(2)の両辺にローテーションを作用させると、

$$
\begin{split}
\ff{\del \nabla\times \B{u}}{\del t}+\nabla\times(\B{u}\cdot \nabla)\B{u} = -\nabla\times\left( \ff{1}{\rho}\nabla p\right)+\nabla\times\B{f}
\end{split}
$$

ここに、渦度 $\B{\om} = \nabla\times \B{u}$ を導入し、また左辺第２項について渦度方程式の計算過程を用いると、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{\om}}{\del t}-\nabla\times(\B{u}\times \B{\om}) = -\nabla\times\left( \ff{1}{\rho}\nabla p\right)+\nabla\times\B{f}
\end{split} \tag{3}
$$

と一旦整理できる。ここからさらに計算を進めていく。

左辺第２項の計算

　左辺第２項について、以下のベクトル解析の公式、

$$
\begin{split}
\nabla\times(\B{a}\times \B{b}) = \B{a}\,\div\,\B{b}-\B{b}\,\div\,\B{a}-(\B{a}\cdot\nabla)\B{b}+(\B{b}\cdot\nabla)\B{a}
\end{split}
$$

を用いると、

$$
\begin{split}
\nabla\times(\B{u}\times \B{\om}) = \B{u}\,\div\,\B{\om}-\B{\om}\,\div\,\B{u}-(\B{u}\cdot\nabla)\B{\om}+(\B{\om}\cdot\nabla)\B{u}
\end{split}
$$

となる。さらに渦度のソレノイダル性より、

$$
\begin{split}
\nabla\times(\B{u}\times \B{\om}) = -\B{\om}\,\div\,\B{u}-(\B{u}\cdot\nabla)\B{\om}+(\B{\om}\cdot\nabla)\B{u}
\end{split}
$$

が得られる。

右辺第１項の計算

　右辺第１項に対しても計算を行うとこのようになる。

$$
\begin{split}
\nabla\times\left( \ff{1}{\rho}\nabla p\right) &= \nabla\left( \ff{1}{\rho} \right)\times \nabla p+\ff{1}{\rho}\nabla \times \nabla p \EE
&= \ff{1}{\rho^2} \nabla \rho\times \nabla p+0 \EE
&= \ff{1}{\rho^2} \nabla \rho\times \nabla p
\end{split}
$$

以上の結果をまとめると(3)を、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{\om}}{\del t}+\B{\om}\,\div\,\B{u}+(\B{u}\cdot\nabla)\B{\om}-(\B{\om}\cdot\nabla)\B{u} = -\ff{1}{\rho^2}\,\grad\, \rho\times \grad\,p+\rot\,\B{f}
\end{split}
$$

整理して、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{\om}}{\del t}+(\B{u}\cdot\nabla)\B{\om} = -\B{\om}\,\div\,\B{u}+(\B{\om}\cdot\nabla)\B{u}-\ff{1}{\rho^2}\,\grad\, \rho\times \grad\,p+\rot\,\B{f}
\end{split} \tag{4}
$$

が得られる。この方程式は Fridman 方程式と呼ばれる。

ヘルムホルツ方程式の導出

　次に、Fridman 方程式から以下のヘルムホルツ方程式の導出を行う。

　さて、バロトロピー流体においては、

$$
\begin{split}
p = p(\rho)
\end{split}
$$

なので、両辺に勾配を作用させると、

$$
\begin{split}
\nabla p = \ff{\diff p}{\diff \rho}\nabla \rho
\end{split}
$$

となって、$\nabla p$ と $\nabla \rho$ は平行（＝バロトロピー流体において、等密度面と等圧面は平行）となることが言える。ゆえに、

$$
\begin{split}
\grad\, \rho\times \grad\,p = \B{0}
\end{split}
$$

である。

　さらにもう一つ、外力が保存力の場合、$\rot \B{f} = \B{0}$ となる。これらの結果を Fridman 方程式に適用すると、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{\om}}{\del t}+(\B{u}\cdot\nabla)\B{\om} &= -\B{\om}\,\div\,\B{u}+(\B{\om}\cdot\nabla)\B{u} \end{split}
$$

となってヘルムホルツ方程式が得られる。

ヘルムホルツ方程式のもう一つの形

　ヘルムホルツ方程式の違うバージョンの導出も行おう。

　さて、冒頭に示した連続方程式 $\DL{ \ff{D \rho}{D t}+\rho\,\div\,\B{u} = 0 }$ を、先程のヘルムホルツ方程式の右辺第１項に適用すると、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{\om}}{\del t}+(\B{u}\cdot\nabla)\B{\om} &= \ff{\B{\om}}{\rho}\ff{D \rho}{D t}+(\B{\om}\cdot\nabla)\B{u} \end{split}
$$

そして、左辺は物質微分で表せて、

$$
\begin{split}
\ff{D \B{\om}}{D t} &= \ff{\B{\om}}{\rho}\ff{D \rho}{D t}+(\B{\om}\cdot\nabla)\B{u}
\end{split}
$$

さらに、両辺を $\rho$ で割って移項して整理すると、

$$
\begin{split}
\ff{1}{\rho}\ff{D \B{\om}}{D t}-\ff{\B{\om}}{\rho^2}\ff{D \rho}{D t} &= \left( \ff{\B{\om}}{\rho}\cdot\nabla \right)\B{u} \EE
\ff{D }{D t}\left( \ff{\B{\om}}{\rho} \right) &= \left( \ff{\B{\om}}{\rho}\cdot\nabla \right)\B{u}
\end{split}
$$

が得られる。

　このバージョンのヘルムホルツ方程式からは、流体粒子の持つ物理量 $\DL{ \ff{\B{\om}}{\rho} }$ の時間変化率は、その瞬間値と局所的な速度勾配に支配されることが主張できる。