渦度方程式の導出

　今回は、渦度の時間発展を記述する方程式である、渦度方程式の導出を行う。

　導出の第一歩として、以下の（非圧縮性）　ナビエ・ストークス方程式の両辺に回転（$\rot$）を掛ける。

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{u}}{\del t}+(\B{u}\cdot \nabla)\B{u} = -\ff{1}{\rho}\nabla p+\nu \nabla^2 \B{u}+\B{f}
\end{split} \tag{1}
$$

すると、このようになる。

$$
\begin{split}
\ff{\del (\nabla\times \B{u})}{\del t}+\nabla\times \Big((\B{u}\cdot \nabla)\B{u} \Big) = -\ff{1}{\rho}\nabla\times \nabla p+\nu \nabla\times \nabla^2 \B{u}+\nabla\times \B{f}
\end{split} \tag{2}
$$

なお、$\B{u}$ は速度場、$\rho$ は密度、$p$ は圧力、$\nu$ は動粘度、$\B{f}$ は外力を表す。右辺第１項については、$\rot\, \grad F = \B{0}$ という公式より消滅する。また、$\nabla\times \B{u} = \rot\,\B{u} = \B{\om}$ と、渦度を導入すると、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{\om}}{\del t}+\nabla\times \Big((\B{u}\cdot \nabla)\B{u} \Big) = \nu \nabla^2 \B{\om}+\nabla\times \B{f}
\end{split} \tag{3}
$$

の形に一旦整理できる。

　次に、対流項 $(\B{u}\cdot \nabla)\B{u}$ の計算を行おう、今 $i$ 成分はこのように表せる。

$$
\begin{split}
\Big( (\B{u}\cdot \nabla)\B{u}\Big)_i &= u_j \del_j u_i
\end{split} \tag{4}
$$

ところで、$\B{u}\times \B{\om}, \nabla \DL{ \ff{1}{2}|\B{u}|^2 }$ の各 $i$ 成分を取り出すとこのようになる。

$$
\left\{
\begin{split}
\, \Big( \B{u}\times \B{\om} \Big)_i &= \eps_{ijk} u_j \om_k \EE
&= \eps_{ijk} u_j ( \eps_{klm} \del_l u_m ) \EE
&= \eps_{ijk}\eps_{klm}u_j \del_l u_m \EE
&= (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl} )u_j \del_l u_m \EE
&= u_m\del_i u_m-u_j\del_ju_i \EE
\, \left( \nabla \left( \ff{1}{2}|\B{u}|^2 \right) \right)_i &= \del_i \left( \ff{1}{2}u_mu_m \right) \EE
&= u_m\del_i u_m
\end{split}
\right.
$$

したがって、

$$
\begin{split}
u_m\del_i u_m -(u_m\del_i u_m-u_j\del_ju_i) &= u_j\del_ju_i \EE
\therefore\,\, \nabla \left( \ff{1}{2}|\B{u}|^2\right)-\B{u}\times \B{\om} &= (\B{u}\cdot \nabla)\B{u}
\end{split} \tag{5}
$$

となることが分かる。

　ゆえに、対流項に回転を掛けた結果は以下となる。

$$
\begin{split}
\nabla\times \Big( (\B{u}\cdot \nabla)\B{u} \Big) &= \nabla \times \left( \ff{1}{2} \nabla|\B{u}|^2 \right)-\nabla\times (\B{u}\times \B{\om}) \EE
&= \B{0}-\rot (\B{u}\times \B{\om}) \EE
&= -\rot (\B{u}\times \B{\om})
\end{split} \tag{6}
$$

以上のことから、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{\om}}{\del t}-\rot (\B{u}\times \B{\om}) = \nu \nabla^2 \B{\om}+\rot \B{f}
\end{split} \tag{7}
$$

が得られる。これは渦度方程式と呼ばれるもので、冒頭に示した方程式が導けた。