渦跳躍

　通常は、速度場と渦度場は連続であり、その導関数も連続であると仮定する。実際の粘性流体であっても、これらの仮定は一般的には適切と見なされ、速度場は初期時刻、あるいは境界の速度が非解析的に変化する場合を除いて、至るところで解析的であると仮定される。

　ただし、ヘルムホルツの渦定理が適用できるような、粘性の存在しない理想流体である場合は、数学的には非解析的な挙動が許され、連続的な速度場・渦度場などを考慮するだけで良いという物理的な直感は必ずしも正しくないのである。

　実際、特異点や不連続性を持つ速度場や渦度場は、相当な重要性を持っている。もちろん、特異点は任意ではなく、オイラー方程式の積分形式、つまり、質量、運動量、エネルギー保存則と整合していなければならない。特に、不連続面を横切る圧力は連続でなければならないという、動力学的な制約は、外力場にも特異点が無い限り満たされなければならない。

　今回は密度は一様であって、明示的に述べられない限り $1$ に等しいとする。また、非保存力についても、明示的に導入されない限り、外力は保存力であると仮定する。

　最も単純な不連続の形態は、面 $S$ を横切る渦度の接線成分の単純な跳躍、すなわち渦跳躍である。この場合、両側の極限値の間で、以下の条件が満たされる。（添え字1, 2で表し、$\B{n}$ は単位法線ベクトルを表すとする）

$$
\left\{
\begin{split}
&(\RM{i})\,\,\, \B{\om_1}\cdot \B{n}_1 = \B{\om_2}\cdot \B{n}_2 \EE
&(\RM{ii})\,\, \B{u_1} = \B{u_2} \EE
&(\RM{iii})\,\, p_1 = p_2
\end{split}
\right.
$$

(i) は、渦度のソレノイダル性 $\div\, \B{\om} = 0$ から従う。要するに、渦跳躍が起きているからといってそこに新たな渦度の発生・消失は許されないからである。（渦跳躍と渦層の違いは、跳躍を挟んで速度場の接線成分が連続か不連続かの違いである。）

渦跳躍の面は物質面である

　さて、渦跳躍が物質面であることを示そう。なお、物質面であるとは、「ある時刻に面上にあった流体粒子が、その後もずっと同じ面上にある」という意味である。

　今、物質面 $S_{\om}(\B{x},t)$ と共に動く座標系を設定して、物質面を $S_{\om}(\B{x},t)=0$ とすることにする。

すると、面上に乗っている流体粒子の軌跡 $\B{x}(t)$ は常に

$$
\begin{split}
S_{\om}(\B{x}(t),t) = 0
\end{split}
$$

を満たすと言える。上式を時間微分すると連鎖律より、

$$
\begin{split}
\ff{\diff S_{\om}}{\diff t} = \ff{\del S_{\om}}{\del t}+\dot{\B{x}}\cdot \nabla S_{\om} = \ff{D S_{\om}}{D t} = 0
\end{split}
$$

を満たすと言える。このように、渦跳躍の面は物質面であることが言える。

ヘビサイドの関数による導出方法

　別証明として、渦度分布をヘビサイドの関数により行う方法を考えよう。ここに、渦度分布を以下のように表現する。($a$ は定数)

$$
\begin{split}
\B{\om} = a H(S_{\om})
\end{split}
$$

ところで、ヘルムホルツ方程式は、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{\om}}{\del t}+(\B{u}\cdot\nabla)\B{\om} &= -\B{\om}\,\div\,\B{u}+(\B{\om}\cdot\nabla)\B{u}
\end{split}
$$

であるが、今は理想流体のため $\div\, \B{u} = 0$ である。よって、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{\om}}{\del t}+(\B{u}\cdot\nabla)\B{\om}-(\B{\om}\cdot\nabla)\B{u} &= 0
\end{split} \tag{1}
$$

について考えればよいと言える。

　このとき、

$$
\left\{
\begin{split}
&\, \ff{\del \B{\om}}{\del t} = a H'(S_{\om})\ff{\del S_{\om}}{\del t} = a \delta (S_{\om})\ff{\del S_{\om}}{\del t} \EE
&\, (\B{u}\cdot\nabla)\B{\om} = a H'(S_{\om})\B{u} \cdot \nabla S_{\om} = a \delta(S_{\om})\B{u} \cdot \nabla S_{\om} \EE
&\, (\B{\om}\cdot\nabla)\B{u} = (a H(S_{\om})\cdot\nabla)\B{u}
\end{split}
\right.
$$

であって、これを(1)に適用すると、

$$
\begin{split}
a \delta (S_{\om}) \left(\ff{\del S_{\om}}{\del t}+\B{u} \cdot \nabla S_{\om} \right)-a( H(S_{\om})\cdot\nabla)\B{u} &= 0
\end{split}
$$

となる。係数 $a$ が $0$ のとき、前述の結果が得られる。

ケルビンの循環定理からの説明

　さらなる別証明を考えよう。今、渦跳躍を横切る微小な閉曲線 $C(t)$ を考え、その閉曲面が張る面を $A(t)$ とする。このとき、循環は、

$$
\begin{split}
\G(t) = \oint_{C(t)} \B{u}\,\cdot\, \diff \B{s}
\end{split}
$$

と表される。また、ストークスの定理より上は、

$$
\begin{split}
\G(t) = \iint_{A(t)} \B{\om}\,\cdot\, \B{n}_A\, \diff A
\end{split}
$$

とできる。（$\B{n}_A$ は $A$ の法線ベクトル）

　さて、渦跳躍を横切った閉曲線のそれぞれの部分を $A_1(t), A_2(t)$ としよう。すると、循環はこのように近似できる。

$$
\begin{split}
\G(t) ≈ (\B{\om}_1\,\cdot\, \B{n}_A)A_1+(\B{\om}_2\,\cdot\, \B{n}_A)A_2
\end{split}
$$

　ここに、面の移動速度を $\B{u}_S$ としたなら、渦跳躍面に対する法線方向の相対速度 $V_{\RM{rel}}$ は、

$$
\begin{split}
V_{\RM{rel}} = (\B{u}-\B{u}_S)\cdot \B{n}
\end{split}
$$

とできる。$V_{\RM{rel}} \neq 0$ なら、閉曲線は渦跳躍面を横切って移動していくため、$A_1,A_2$ の大きさが変化していく。つまり、微小な閉曲線の長さが $l$ なら、

$$
\begin{split}
\ff{\diff A_1}{\diff t} = -\ff{\diff A_2}{\diff t} ≈ lV_{\RM{rel}}
\end{split}
$$

が成立する。したがって、

$$
\begin{split}
\ff{\diff \G}{\diff t} &≈ (\B{\om}_1\,\cdot\, \B{n}_A)\ff{\diff A_1}{\diff t}+(\B{\om}_2\,\cdot\, \B{n}_A)\ff{\diff A_2}{\diff t} \EE
&= (\B{\om}_1-\B{\om}_2)\cdot \B{n}_A\, (l V_{\RM{rel}})
\end{split}
$$

が得られる。もし、$V_{\RM{rel}} \neq 0$ なら、

$$
\begin{split}
\ff{\diff \G}{\diff t} &\neq 0
\end{split}
$$

となるが、この結果はケルビンの循環定理に反することになる。したがって、$V_{\RM{rel}} = 0$ すなわち、面の法線速度と流体の法線速度は一致することが言える。つまり、渦跳躍の面は物質面であることが言える。