流体力学的インパルス

流体力学的インパルスの導入

　渦運動を考えるに当たり、渦運動の運動量に相当する量を導入すると便利である。この量は、流体力学的インパルスと呼ばれ、次の様に定義される。

　さて、素直に考えれば、ある領域 $V$ 内の流体の運動量を

$$
\begin{split}
\int_V \rho\,\B{u}\,\diff V
\end{split}
$$

と定義すれば良さそうではあるが、これでは発散して上手くいかない場合がある。そのため、流体力学的インパルスを導入するのである。なぜ上手くいかないのかについては以下で説明する。

ステップ１：渦度と速度の関係

　まず、ビオ・サバールの法則から、速度場 $\B{u}$ は、渦度 $\B{\om}$ を用いて以下のように表せる。

$$
\begin{split}
\B{u}(\B{x}) = \ff{1}{4\pi} \int_V \ff{ \B{\om}(\B{x}’)\times (\B{x}-\B{x}’) }{|\B{x}-\B{x}’|^3} \,\diff V
\end{split} \tag{2}
$$

ステップ２：速度場の多極展開

　次に、(2)内の被積分関数を、$\B{x}’$ についてテイラー展開を行うと、

$$
\begin{split}
\ff{ \B{x}-\B{x}’ }{|\B{x}-\B{x}’|^3} &= \ff{\hat{\B{x}}}{|\B{x}|^2}+\ff{ 3(\hat{\B{x}} \cdot \B{x}’)\hat{\B{x}}-\B{x}’ }{|\B{x}|^3}+O\left( \ff{1}{|\B{x}|^4} \right)
\end{split} \tag{3}
$$

とできることが知られている。なお、$\hat{\B{x}} = \DL{ \ff{\B{x}}{|\B{x}|} }$ である。

ステップ３：速度の計算

　(3)で得た第２項までの結果を、(2)に代入して計算を実行すると、

$$
\begin{split}
\B{u}(\B{x}) &≒ \ff{1}{4\pi} \int_V \B{\om}(\B{x}’)\times \left( \ff{\hat{\B{x}}}{|\B{x}|^2}+\ff{ 3(\hat{\B{x}} \cdot \B{x}’)\hat{\B{x}}-\B{x}’ }{|\B{x}|^3} \right)\,\diff V \EE
&= \ff{1}{4\pi |\B{x}|^2} \int_V \B{\om}\,\diff V\times \hat{\B{x}}+\ff{1}{4\pi |\B{x}|^3}\int_V \B{\om}\times \big( 3(\hat{\B{x}} \cdot \B{x}’)\hat{\B{x}}-\B{x}’ \big) \diff V
\end{split}
$$

これの右辺第1項対して、ストークスの定理を適用すると、

$$
\begin{split}
\int_V \B{\om}\,\diff V = \int_V \nabla \times \B{u}\,\diff V = \int_S \B{n}\times \B{u}\,\diff S = \B{0}
\end{split}
$$

とできるが、流速が無限遠で $\B{0}$ であることを利用すると、この結果は $\B{0}$ となる。よって、速度場は、

$$
\begin{split}
\B{u}(\B{x}) &\sim \ff{1}{4\pi |\B{x}|^3}\int_V \B{\om}\times \big( 3(\hat{\B{x}} \cdot \B{x}’)\hat{\B{x}}-\B{x}’ \big) \diff V
\end{split} \tag{4}
$$

と近似できる。

ステップ４：”運動量”が発散することの証明

　(4)の結果より、速度場は定数 $C$ を用いて $\B{u} = \DL{\ff{C}{ |\B{x}|^3}} $ と近似できると言える。これを先程考えた”運動量”の式に適用すると、

$$
\begin{split}
\int_V \rho\,\B{u}\,\diff V &= \rho C \int_V \,\ff{1}{ |\B{x}|^3}\,\diff V
\end{split}
$$

$r=|\B{x}|$ として、また領域 $V$ を球体とすると上の積分が、

$$
\begin{split}
\int_V \rho\,\B{u}\,\diff V &= \rho C \int_V \ff{1}{ |\B{x}|^3}\,\diff V \EE
&= \rho C \int_0^R \int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \ff{1}{ r^3}\,(r^2 \diff\q\,\diff \phi\,\diff r) \EE
&= 4\pi^2 \rho C \log R
\end{split}
$$

と求められる。

　今、$R\to \infty$ とすると$\DL{\int_V \rho\,\B{u}\,\diff V}$ が発散するため、この量について考えるのは非合理的ということになる。一方、流体力学的インパルスの形であれば、無限遠での発散は起きないため、この量を考えることは合理的ということになる。

流体力学的インパルスと速度場の関係

　さて、流体力学的インパルス使っても、遠方での速度場を記述できる。具体的には、流体力学的インパルスと速度は以下の関係で結ばれている。

$$
\begin{split}
\B{u}(\B{x}) &\sim \ff{1}{2\pi \rho |\B{x}|^3} \Big( 3(\B{I}\cdot \hat{\B{x}}’)\hat{\B{x}}’-\B{I} \Big)
\end{split} \tag{5}
$$

上式は、(4)の結果を用いれば導出できる。変形すると、

$$
\begin{split}
\B{u}(\B{x}) &\sim \ff{1}{4\pi |\B{x}|^3}\int_V \big( 3\big (\hat{\B{x}} \cdot(\B{\om}\times \B{x}’) \big)\hat{\B{x}}-\B{\om}\times \B{x}’ \big) \diff V \EE
&= \ff{1}{4\pi |\B{x}|^3} \ff{2}{\rho} \int_V \big( 3\big (\hat{\B{x}} \cdot \B{I} \big)\hat{\B{x}}-\B{I} \big) \diff V \EE
&= \ff{1}{2\pi \rho |\B{x}|^3} \Big( 3(\B{I}\cdot \hat{\B{x}}’)\hat{\B{x}}’-\B{I} \Big)
\end{split}
$$

となって最初の速度場との関係が導ける。

流体力学的インパルスと力の関係

　次に、流体力学的インパルスの時間微分 $\DL{ \ff{\diff \B{I}}{\diff t} }$ を計算してみよう。計算はこのように進む。

$$
\begin{split}
\ff{\diff \B{I}}{\diff t} = \ff{\rho}{2} \int_V \B{x}\times \ff{\diff \B{\om}}{\diff t}\,\diff V
\end{split}
$$

流体が非粘性とすると、渦度方程式よりこのようにできる。

$$
\begin{split}
\ff{\diff \B{I}}{\diff t} = \ff{\rho}{2} \int_V \B{x}\times \Big( \rot (\B{u}\times \B{\om})+\rot \B{f} \Big) \,\diff V
\end{split} \tag{6}
$$

　ところで、３次元においてはこのような恒等式が成立する。

$$
\begin{split}
\int_V \B{x}\times \rot \B{a}\, \diff V = 2\int_V \B{a}\,\diff V+\int_S \B{x}\times(\B{n}\times \B{a}) \diff S
\end{split}
$$

これを(6)に適用すると、

$$
\begin{split}
\ff{2}{\rho} \ff{\diff \B{I}}{\diff t} &= \int_V \B{x}\times \Big( \rot (\B{u}\times \B{\om})+\rot \B{f} \Big) \,\diff V \EE
&= 2\int_V (\B{u}\times \B{\om})\diff V+\int_S \B{x}\times (\B{n}\times \B{u}\times \B{\om} ) \diff S \EE
&\qquad+2\int_V \B{f}\,\diff V+\int_S \B{x}\times (\B{n}\times \B{f})\diff S
\end{split}
$$

となるが、無限遠では $\B{f}$ と $\B{u}$ が消失するから上の面積分は消える。よって、

$$
\begin{split}
\ff{2}{\rho} \ff{\diff \B{I}}{\diff t} &= 2\int_V (\B{u}\times \B{\om})\diff V+2\int_V \B{f}\,\diff V
\end{split}
$$

さらに、右辺第１項は、

$$
\begin{split}
\int_V (\B{u}\times \B{\om})\diff V &= \int_V \left( \ff{1}{2}\nabla \B{u}^2-\B{u}\cdot \nabla \B{u} \right) \diff V \EE
&= \int_S \left( \ff{1}{2}\B{u}^2\B{n}-\B{u}(\B{u}\cdot \B{n}) \right) \diff S
\end{split}
$$

とできるが、同じ議論から無限遠ではこの積分は消失する。以上より、

$$
\begin{split}
\ff{2}{\rho} \ff{\diff \B{I}}{\diff t} &= 2\int_V \B{f}\,\diff V \EE
\therefore\,\, \ff{\diff \B{I}}{\diff t} &= \rho \int_V \B{f}\,\diff V
\end{split}
$$

が得られる。

　このように、流体力学インパルスの時間微分は力と結びつく。