ナビエ・ストークス方程式のヘルムホルツ分解

　（非圧縮性）ナビエ・ストークス方程式をヘルムホルツ分解することを考えよう。ここでは、ナビエ・ストークス方程式をこのように表す。なお、$\B{u}$ は速度場、$\rho$ は密度、$p$ は圧力、$\nu$ は動粘度、$\B{f}$ は外力を表す。

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{u}}{\del t}=-(\B{u}\cdot \nabla)\B{u} -\ff{1}{\rho} \nabla p+\nu \nabla^2 \B{u}+\B{f}
\end{split} \tag{1}
$$

また、非圧縮性であることから、

$$
\begin{split}
\div\,\B{u} = 0
\end{split} \tag{2}
$$

も成立する。

　今回のヘルムホルツ分解を行うに当たり、流体に外力は作用しておらず、また無限遠にて流速は $\B{0}$、$\rho=1$、空間は単連結であるとする。つまり、以下の条件の下でヘルムホルツ分解を実施する。

$$
\left\{
\begin{split}
&\, \ff{\del \B{u}}{\del t}=-(\B{u}\cdot \nabla)\B{u}-\nabla p+\nu \nabla^2 \B{u} \EE
&\, \div\,\B{u} = 0 \EE
&\, \B{u} \to \B{0} \quad(|\B{x}|\to \infty) \EE
\end{split} \tag{3}
\right.
$$

発散無しの場への分解

　それでは、(3)のナビエ・ストークス方程式から発散無しの場を取り出して見よう。この際に使うのは、Leray 射影 $\mathbb{P}$（この射影を使うと、任意のベクトル場から発散無しの場を取り出せる）である。

　$\mathbb{P}$ は以下の様に定義される作用素で、（ $I$ は単位行列, $\D^{-1}$ はポアソン方程式の解を与える逆作用素）

$$
\begin{split}
\mathbb{P} = I-\nabla \D^{-1}\nabla\cdot
\end{split} \tag{4}
$$

これを左辺に作用させると、

$$
\begin{split}
\mathbb{P}\left( \ff{\del \B{u}}{\del t} \right) &= (I-\nabla \D^{-1}\nabla\cdot)\ff{\del \B{u}}{\del t} \EE
&= \ff{\del \B{u}}{\del t}-\nabla \D^{-1} \ff{\del \nabla\cdot \B{u}}{\del t} \EE
&= \ff{\del \B{u}}{\del t}-\nabla \D^{-1}\, 0 \quad(\because \div\, \B{u} = 0) \EE
&= \ff{\del \B{u}}{\del t}
\end{split}
$$

次に、右辺に作用させると、

$$
\begin{split}
&\mathbb{P}\Big(-(\B{u}\cdot \nabla)\B{u}-\nabla p+\nu \nabla^2 \B{u} \Big) \EE
=& \mathbb{P}\Big(-(\B{u}\cdot \nabla)\B{u} \Big)-\mathbb{P}\Big(\nabla p \Big)+\mathbb{P}\Big(\nu \nabla^2 \B{u} \Big) \EE
\end{split} \tag{5}
$$

対流項（第１項）の計算は一旦置いておいて、第２項と第３項の計算を行う。(4)の定義より、各項はこのようにできる。

$$
\left\{
\begin{split}
\, \mathbb{P}\Big(\nabla p \Big) &= (I-\nabla \D^{-1}\nabla\cdot)\nabla p \EE
&= \nabla p-\nabla \D^{-1}\nabla^2 p \EE
&= \nabla p-\nabla p = 0 \EE
\,\mathbb{P}\Big(\nu \nabla^2 \B{u} \Big) &= (I-\nabla \D^{-1}\nabla\cdot)(\nu \nabla^2 \B{u}) \EE
&= \nu \nabla^2 \B{u}-\nu (\nabla \D^{-1}\nabla\cdot)(\nabla^2 \B{u}) \EE
&= \nu \nabla^2 \B{u}-\nu (\nabla \D^{-1}\nabla^2)( \nabla\cdot \B{u}) \EE
&= \nu \nabla^2 \B{u}-\nu (\nabla \D^{-1}\nabla^2)\, 0 \quad (\because \, \div\,\B{u} = 0 ) \EE
&= \nu \nabla^2 \B{u}
\end{split} \tag{6}
\right.
$$

対流項に対する Leray 射影の計算

　それでは、対流項（第１項）の Leray 射影の計算を実行しよう。まず、任意のベクトル場 $\B{a}$ に対して Leray 射影は、

$$
\begin{split}
(\mathbb{P}\, \B{a})_i = a_i-\del_i \D^{-1} (\del_k a_k) \qquad\left(※\,\del_i = \ff{\del}{\del x_i} \right)
\end{split} \tag{7}
$$

と表せ、ここに $\B{a} = (\B{u}\cdot \nabla)\B{u}$ とすると、$\big( (\B{u}\cdot \nabla)\B{u} \big)_i = u_j \del_j u_i $ と表現できるので、(7)は、

$$
\begin{split}
\big (\mathbb{P}(\B{u}\cdot \nabla)\B{u} \big)_i &= u_j \del_j u_i-\del_i \D^{-1} \Big( \del_k(u_j \del_j u_k) \Big)
\end{split} \tag{8}
$$

とできる。さて、$\del_k(u_j \del_j u_l) $ について展開すると、

$$
\begin{split}
\del_k(u_j \del_j u_k) &= (\del_k u_j)(\del_j u_k)+u_j \del_k \del_j u_k \EE
&= (\del_k u_j)(\del_j u_k)+u_j \del_j(\del_k u_k)
\end{split}
$$

仮定より $\div\, \B{u} = \del _iu_i = 0$ が成立するので、第２項は消滅して

$$
\begin{split}
\del_k(u_j \del_j u_k) &= (\del_k u_j)(\del_j u_k) \EE
\end{split}
$$

となる。したがって、(8)は、

$$
\begin{split}
\big (\mathbb{P}(\B{u}\cdot \nabla)\B{u} \big)_i &= u_j \del_j u_i-\del_i \D^{-1} \Big( (\del_k u_j)(\del_j u_k) \Big)
\end{split} \tag{9}
$$

となる。

$\D^{-1}\Big( (\del_k u_j)(\del_j u_k) \Big)$ の計算

　今、$\B{S}(\B{x}) = (\del_k u_j)(\del_j u_k)(\B{x}) $ として、$\D^{-1} \B{S}(\B{x})$ の計算を行おう。このとき、

$$
\begin{split}
\B{q}(\B{x}) = \D^{-1} \B{S}(\B{x})
\end{split}
$$

とすると、これは、

$$
\begin{split}
\B{S} = \D \B{q}
\end{split} \tag{10}
$$

というポアソン方程式と同じ意味になる。これの解を求める定石として、以下のグリーン関数を導入する。

$$
\left\{
\begin{split}
&\, G(\B{x}) = -\ff{1}{4\pi} \ff{1}{|\B{x}|} \EE
&\, \D G(\B{x}) = \delta (\B{x})
\end{split} \tag{11}
\right.
$$

すると、$\B{q}$ はこのような畳み込み積分を用いて求められて、

$$
\begin{split}
\B{q}(\B{x}) &= (G*S)(\B{x}) = \int_V G(\B{x}-\B{x}’) S(\B{x}’) \diff V \EE
&= -\ff{1}{4\pi} \int_V \ff{S(\B{x}’)}{|\B{x}-\B{x}’|} \diff V = \D^{-1} \B{S}(\B{x}) = \D^{-1}(\del_k u_j)(\del_j u_k)(\B{x})
\end{split} \tag{12}
$$

という結果が得られる。

$\del_i \D^{-1} \Big( (\del_k u_j)(\del_j u_k) \Big)$ の計算

　最後に、$\del_i \D^{-1} \Big( (\del_k u_j)(\del_j u_k) \Big)$ の計算を行おう。これは、

$$
\begin{split}
\del_i \D^{-1} \Big( (\del_k u_j)(\del_j u_k) \Big) &= \del_i \B{q}(\B{x}) \EE
&= -\ff{1}{4\pi} \int_V \ff{\B{x}-\B{x}’}{|\B{x}-\B{x}’|^3}(\del_k u_j)(\del_j u_k) \diff V \EE
&= -\ff{1}{4\pi} \int_V \ff{\B{x}-\B{x}’}{|\B{x}-\B{x}’|^3}\Big( \nabla\cdot \big( (\B{u}\cdot \nabla)\B{u} \big) \Big) \diff V
\end{split} \tag{13}
$$

とできる。以上より、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{u}}{\del t} = -(\B{u}\cdot \nabla)\B{u}+\ff{1}{4\pi} \int_V \ff{\B{x}-\B{x}’}{|\B{x}-\B{x}’|^3}\Big( \nabla\cdot \big( (\B{u}\cdot \nabla)\B{u} \big) \Big) \diff V+\nu \nabla^2 \B{u}
\end{split} \tag{14}
$$

とできて、これがナビエ・ストークス方程式より発散無しの場を取り出したものになる。

この結果から、圧力は、非圧縮流体の流速の時間発展には影響を与えないことが分かる。

回転無しの場への分解

　次に、ナビエ・ストークス方程式から回転無しの場を取り出してみよう。これを行うとき、次のように定義される射影 $\mathbb{Q}$ を用いると便利である。

$$
\begin{split}
\mathbb{Q} = I-\mathbb{P} = \nabla \D^{-1}\nabla\cdot
\end{split} \tag{15}
$$

これをナビエ・ストークスに作用させると、

$$
\begin{split}
\mathbb{Q}\left( \ff{\del \B{u}}{\del t} \right)&=-\mathbb{Q}\Big((\B{u}\cdot \nabla)\B{u}\Big)-\mathbb{Q}(\nabla p)+\mathbb{Q}(\nu \nabla^2 \B{u}) \EE
0 &= -\mathbb{Q}\Big((\B{u}\cdot \nabla)\B{u}\Big)-\nabla p+0 \EE
\mathbb{Q}\Big((\B{u}\cdot \nabla)\B{u}\Big) &= -\nabla p
\end{split} \tag{16}
$$

と変形できる。左辺の $\mathbb{Q}\Big((\B{u}\cdot \nabla)\B{u}\Big) = (\nabla \D^{-1}\nabla\cdot)\Big((\B{u}\cdot \nabla)\B{u}\Big)$ については、上の結果より、

$$
\begin{split}
\mathbb{Q}\Big((\B{u}\cdot \nabla)\B{u}\Big) &= (\nabla \D^{-1}\nabla\cdot)\Big((\B{u}\cdot \nabla)\B{u}\Big) \EE
&= -\ff{1}{4\pi} \int_V \ff{\B{x}-\B{x}’}{|\B{x}-\B{x}’|^3}\Big( \nabla\cdot \big( (\B{u}\cdot \nabla)\B{u} \big) \Big) \diff V
\end{split}
$$

とできて、以上より、

$$
\begin{split}
\nabla p = \ff{1}{4\pi} \int_V \ff{\B{x}-\B{x}’}{|\B{x}-\B{x}’|^3}\Big( \nabla\cdot \big( (\B{u}\cdot \nabla)\B{u} \big) \Big) \diff V
\end{split} \tag{17}
$$

が得られる。