はじめに
渦運動の理論では、しばしば 流体力学体インパルス という量が現れる。三次元の非圧縮流体において、渦度 $\boldsymbol{\omega}$ が有限領域に局在している場合、流体インパルスは
$$
\boldsymbol{I} = \frac{1}{2} \int \boldsymbol{x}\times\boldsymbol{\omega}\,\diff V
$$
によって定義される。
ここで $\boldsymbol{x}$ は位置ベクトル、$\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\boldsymbol{u}$ は渦度である。この量は、無限に広がる流体中の渦運動に対して、通常の運動量に対応する役割を果たす。
しかし、流体力学的インパルスは見た目だけでは直感的に理解しにくい。なぜ位置ベクトルと渦度の外積が、運動量のような役割を果たすのか？
この疑問に答える有力な解釈が、静止状態からの運動の衝撃的生成、すなわち Impulsive generation from rest という考え方である。これは、静止していた流体に瞬間的な力を加え、ある速度場を一気に生成するという考え方でもある。
静止していた流体に瞬間的な力を加えると？
さて、時刻 $t<0$ において、流体は完全に静止しているとする。今、初期の速度場が
$$
\boldsymbol{u}=0
$$
の状態の流体に、時刻 $t=0$ にて、流体へ瞬間的な外力を加える。この外力はディラックのデルタ関数を用いて
$$
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},t) = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\delta(t)
$$
と表せる。
ここで $\boldsymbol{F}$ は単位体積あたりの外力であり、$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ はその時間積分、すなわち力積密度である。通常の力が有限時間にわたって作用するのに対し、ここで考える力は $t=0$ の瞬間にだけ作用する。
その結果、時刻 $t=0+$ に速度場 $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x})$ が生成される。この過程が「静止状態からの運動の衝撃的生成」である。
なぜ $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}$ ではないのか？
直感的には、静止していた流体に力積密度 $\boldsymbol{f}$ を与えるならば、生成される速度は
$$
\boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}
$$
となりそうに見える。しかし、非圧縮流体ではこの考えは一般には正しくない。なぜなら、非圧縮流体の速度場は
$$
\nabla\cdot\boldsymbol{u}=0
$$
を満たさなければならないからだ。一方、任意に与えた力積密度 $\boldsymbol{f}$ が
$$
\nabla\cdot\boldsymbol{f}=0
$$
を満たすとは限らない。
したがって、$\boldsymbol{f}$ をそのまま速度場にしてしまうと、流体が局所的に圧縮・膨張するような速度場を許してしまう。これは非圧縮流体の仮定に反する。この制約を満たすために、「衝撃的な圧力」の項を入れる必要がある。
「衝撃的な圧力」の導入
ところで、$t=0$ でのこの流体の運動方程式は、密度を $1$ として書けば、
$$
\begin{split}
\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} = -\nabla p+\B{F}
\end{split}
$$
とできる。ここで、瞬間的な外力
$$
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x},t)=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\delta(t)
$$
が加わると、圧力にもデルタ関数的な寄与が現れる。これは
$$
p(\boldsymbol{x},t) = P(\boldsymbol{x})\delta(t)+\cdots
$$
と書ける。この $P$ を 衝撃的な圧力、すなわち impulsive pressure と呼ぶ。また、運動方程式を $t=0$ の近傍で時間積分すると、
$$
\boldsymbol{u} = -\nabla P+\boldsymbol{f}
$$
が得られる。したがって、生成される速度場は
$$
\boxed{
\boldsymbol{u} = -\nabla P+\boldsymbol{f}
}
$$
である。
この式の意味は明快である。外から与えた力積密度 $\boldsymbol{f}$ のうち、非圧縮条件に反する成分が圧力勾配 $\nabla P$ によって取り除かれ、残った発散なし成分だけが実際の速度場となる。
ヘルムホルツ分解としての解釈
この構造は、ヘルムホルツ分解の観点から見ると分かりやすい。任意の十分滑らかなベクトル場 $\boldsymbol{f}$ は、概念的には
$$
\boldsymbol{f} = \boldsymbol{f}_{\mathrm{sol}}+\nabla \chi
$$
のように、発散なし成分と勾配成分に分けられる。ここで
$$
\nabla\cdot\boldsymbol{f}_{\mathrm{sol}}=0
$$
である。このとき、
$$
\boldsymbol{u} = \boldsymbol{f}-\nabla P
$$
において、もし $P$ が勾配成分 $\nabla\chi$ を打ち消すように定まるならば、
$$
\boldsymbol{u} = \boldsymbol{f}_{\mathrm{sol}}
$$
となる。
すなわち、衝撃圧力の役割は、任意に与えられた力積密度 $\boldsymbol{f}$ を、非圧縮流体が許す発散なし速度場へ射影することにある。この意味で、
$$
\boldsymbol{u} = \boldsymbol{f}-\nabla P
$$
は、力積密度 $\boldsymbol{f}$ に対して Leray 射影を施した式と見ることができる。
衝撃圧力はポアソン方程式で決まる
上で説明したように、衝撃圧力 $P$ は任意ではなく、非圧縮条件
$$
\nabla\cdot\boldsymbol{u}=0
$$
によって決定される。先ほどの式
$$
\boldsymbol{u} = -\nabla P+ \boldsymbol{f}
$$
の発散を取ると、
$$
\nabla\cdot\boldsymbol{u} = -\nabla^2P+\nabla\cdot\boldsymbol{f}
$$
であって、非圧縮条件より左辺はゼロなので、
$$
-\nabla^2P+\nabla\cdot\boldsymbol{f} = 0
$$
すなわち
$$
\boxed{
\nabla^2P = \nabla\cdot\boldsymbol{f}
}
$$
を得る。
この式は、衝撃圧力が力積密度の発散によって決まることを示す。言い換えれば、$\boldsymbol{f}$ のうち「流体を押し込む成分」「局所的な体積変化を生じさせようとする成分」が、圧力によって補正されるのである。
渦度は力積密度の回転で決まる
次に、生成される渦度を調べる。速度場は
$$
\boldsymbol{u} = -\nabla P+\boldsymbol{f}
$$
である。両辺の回転を取ると、
$$
\nabla\times\boldsymbol{u} = \nabla\times(-\nabla P)+\nabla\times\boldsymbol{f}
$$
となる。ところで、任意のスカラー場 \(P\) に対して
$$
\nabla\times\nabla P=0
$$
であるから、
$$
\boldsymbol{\omega} = \nabla\times\boldsymbol{u}
=\nabla\times\boldsymbol{f}
$$
を得る。したがって、
$$
\boxed{
\boldsymbol{\omega} = \nabla\times\boldsymbol{f}
}
$$
である。この式は重要である。衝撃圧力は速度場の発散を補正するが、渦度は生成しない。渦度を作るのは、力積密度 \(\boldsymbol{f}\) の回転成分である。
流体インパルスは全力積である
ここで、流体に加えた全力積を考える。それは
$$
\int \boldsymbol{f}\,dV
$$
である。一方、流体力学的インパルスは
$$
\boldsymbol{I} = \frac{1}{2} \int \boldsymbol{x}\times\boldsymbol{\omega}\,\diff V
$$
で定義される。ここで
$$
\boldsymbol{\omega} = \nabla\times\boldsymbol{f}
$$
を代入すれば、
$$
\boldsymbol{I} = \frac{1}{2} \int \boldsymbol{x}\times (\nabla\times\boldsymbol{f}) \,\diff V
$$
となる。この式が
$$
\int \boldsymbol{f}\,\diff V
$$
と等しいことを確認する。
$ \DL{\int \boldsymbol{f}\,\diff V=\boldsymbol{I}} $ の導出
有限領域に局在したベクトル場 $\boldsymbol{f}$ に対して、次の三次元の積分恒等式を用いる。
$$
\int \boldsymbol{x}\times (\nabla\times\boldsymbol{f})\,\diff V = 2 \int \boldsymbol{f}\,\diff V
$$
ただし、境界において $\boldsymbol{f}$ が十分速く消えるか、有限領域に局在しているものとする。したがって、
$$
\frac{1}{2} \int \boldsymbol{x}\times (\nabla\times\boldsymbol{f}) \,\diff V
= \int \boldsymbol{f}\,\diff V
$$
である。よって、
$$
\boxed{
\boldsymbol{I} = \int \boldsymbol{f}\,\diff V
}
$$
を得る。これは、流体力学的インパルスの最も重要な物理的解釈である。すなわち、
流体力学的インパルスとは、その流れを静止状態から瞬間的に生成するために必要な全力積である。
通常の質点力学では、力積は運動量変化に等しい。静止状態から運動を作るなら、力積はそのまま運動量になる。同様に、無限流体中の局在渦運動では、全力積が流体力学的インパルスに等しい。
ポテンシャル流領域と多重連結性
渦度が存在しない領域では、
$$
\boldsymbol{\omega}=0
$$
である。このとき速度場は局所的にはポテンシャル流であり、
$$
\boldsymbol{u} = \nabla\phi
$$
と書ける。単連結領域では、速度ポテンシャル $\phi$ を一価関数として定義できる。この場合、渦度のない領域では力積密度 $\boldsymbol{f}$ をゼロとし、衝撃圧力を
$$
P=-\phi
$$
のように取ることができる。しかし、多重連結領域では事情が異なる。線渦や渦輪の周囲のように、速度ポテンシャルが多価になる場合がある。この場合、ポテンシャルを一価にするために切断面を導入する必要がある。
この切断面を横切ると、衝撃圧力 $P$ に跳躍が生じる。その圧力ジャンプは、切断面上に集中した特異な力積分布と等価である。
したがって、渦を衝撃的に生成するとは、必ずしも滑らかな体積力積を与えることだけを意味しない。線渦や渦輪の場合には、切断面上の圧力ジャンプとして力積を与える解釈が自然に現れる。
線渦・渦輪との関係
この考え方は、線渦や渦輪のインパルスを理解するうえで特に重要である。強さ $\Gamma$ の線渦が閉曲線 $C$ 上に存在するとき、その流体力学的インパルスは
$$
\boldsymbol{I} = \frac{\Gamma}{2} \oint_C \boldsymbol{R}\times \diff \boldsymbol{R}
$$
と書ける。この式は、線渦が囲む有向面積に比例する。たとえば、半径 \(R\) の円形渦輪が \(z\) 軸方向に進む場合、そのインパルスは大まかには、
$$
\boldsymbol{I} = \Gamma \pi R^2 \boldsymbol{e}_z
$$
の形になる。
これは、渦輪が単なる局所的な回転ではなく、有限の面積を囲む閉じた渦構造として、全体として進行方向のインパルスを持つことを示している。
この意味で、流体力学的インパルスは渦輪の運動を特徴づける基本量である。渦輪が自己誘起速度によって進むという現象は、渦度分布、流体力学的インパルス、そして遠方のポテンシャル流構造と密接に結びついている。
まとめ
静止状態からの運動の衝撃的生成とは、静止していた流体に瞬間的な力積密度
$$
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})
$$
を与え、速度場
$$
\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x})
$$
を一気に生成するという考え方である。非圧縮流体では、生成される速度場は単に $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{f}$ ではなく、
$$
\boldsymbol{u} = \boldsymbol{f}-\nabla P
$$
となる。ここで \(P\) は衝撃圧力であり、
$$
\nabla^2P = \nabla\cdot\boldsymbol{f}
$$
を満たす。これは、任意の力積密度から非圧縮条件に反する成分を取り除くための補正である。また、渦度は
$$
\boldsymbol{\omega} = \nabla\times\boldsymbol{f}
$$
で与えられる。したがって、渦度を作るのは力積密度の回転成分であり、衝撃圧力は渦度を作らない。さらに、流体に加えた全力積は
$$
\int \boldsymbol{f}\,\diff V
$$
であり、これは流体力学的インパルス
$$
\boldsymbol{I} = \frac{1}{2}\int \boldsymbol{x}\times\boldsymbol{\omega}\,\diff V
$$
に等しい。ゆえに、流体力学的インパルスは
$$
\boxed{
\text{流体力学的インパルス} = \text{その流れを静止状態から生成するために必要な全力積}
}
$$
と解釈される。
この視点に立つと、流体力学的インパルスは単なる形式的な積分量ではなく、無限流体中の局在渦運動に対する「運動量的な量」として自然に理解される。また、角運動量インパルスはその力積のモーメントとして導入され、渦運動の回転的性質を記述する量となる。
したがって、Impulsive generation from rest は、流体力学的インパルスと角運動量インパルスの物理的意味を結びつける中心的な概念である。
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