渦度と複素速度ポテンシャルの関係

　良く知られているように、２次元のポテンシャル流れ（渦無し流れ）については、複素速度ポテンシャル $w$ と複素速度 $q$ が以下の様に表せる。（$\phi$ は速度ポテンシャル、$\psi$ は流れ関数）

$$
\left\{
\begin{split}
\, w &= \phi+i\psi \EE
\, q &= \ff{\diff w}{\diff q}
\end{split}
\right.
$$

また、$x,y$ 軸それぞれの方向での速度を $u_1, u_2$ としたら、複素速度は以下の関係にある。

$$
\begin{split}
q = u_1+i u_2
\end{split}
$$

複素速度ポテンシャルの考え方は便利であるため、今回は渦度のある流れに対しても複素速度ポテンシャルを拡張する方法について考える。

Wirtinger 微分の導入と渦度の対応

　少し話は逸れるが、$\del/\del z, \del /\del \bar{z}$ という微分演算子を以下の様に定義する。

$$
\left\{
\begin{split}
\, \ff{\del}{\del z} &= \ff{1}{2}\left( \ff{\del}{\del x}+i\ff{\del}{\del y} \right) \EE
\, \ff{\del}{\del \bar{z}} &= \ff{1}{2}\left( \ff{\del}{\del x}-i\ff{\del}{\del y} \right)
\end{split}
\right. \tag{1}
$$

複素速度 $q$ を上の微分演算子に適用すると、このように計算できる。

$$
\begin{split}
\ff{\del q}{\del \bar{z} } &= \ff{1}{2}\left( \ff{\del q}{\del x}-i\ff{\del q}{\del y} \right) \EE
&= \ff{1}{2}\left( \ff{\del (u_1+i u_2)}{\del x}-i\ff{\del (u_1+i u_2)}{\del y} \right) \EE
&= \ff{1}{2}\left\{ \left( \ff{\del u_1}{\del x}+\ff{\del u_2}{\del y} \right)-i\left( \ff{\del u_2}{\del x}-\ff{\del u_1}{\del y} \right) \right\}
\end{split}
$$

$\DL{ \nabla\cdot \B{u} = \ff{\del u_1}{\del x}+\ff{\del u_2}{\del y} }$ そして、$\B{\om} = \DL{ \ff{\del u_2}{\del x}-\ff{\del u_1}{\del y} } $ であるので、上の結果をこのように整理できる。

$$
\boxed{
\ff{\del q}{\del \bar{z} } = \ff{1}{2}\big( \nabla \cdot \B{u}-i \B{\om} \big)
} \tag{2}
$$

非圧縮流体の場合、$\nabla \cdot \B{u} = 0$ のため、

$$
\boxed{
\ff{\del q}{\del \bar{z} } = -\ff{i}{2} \B{\om}
} \tag{3}
$$

が成立する。なお、ポテンシャル流れでは $q$ が正則関数のため、$\DL{\ff{\del q}{\del \bar{z} } = 0}$ となることに注意する必要がある。

渦度のある流れへの複素速度の拡張

　上に示したように、非圧縮流体に対しては、

$$
\begin{split}
\ff{\del q}{\del \bar{z} } &= -\ff{i}{2} \B{\om}
\end{split}
$$

が成立する。これを満たす解を考えることにしよう。天下り的にはなるが、以下の基本公式を用いる。

$$
\begin{split}
\ff{\del}{\del \bar{z}}\left( \ff{1}{\pi(z-\zeta)} \right) = \delta (z-\zeta)
\end{split} \tag{4}
$$

この公式を考慮すると、$\DL{ \ff{\del q}{\del \bar{z}} = g }$ についての解の候補として、

$$
\begin{split}
q(z) = \iint \ff{g(\zeta)}{z-\zeta} \diff A(\zeta)
\end{split}
$$

が自然に考えられる。上式に、$ g = -\DL{ \ff{i}{2} \, \B{\om} }$ を適用するとこのようになる。

$$
\begin{split}
q(z) &= \iint \ff{-\ff{i}{2}\B{\om}(\zeta)}{z-\zeta} \diff A(\zeta) \EE
&= \ff{1}{2\pi i}\iint \ff{\B{\om}(\zeta)}{z-\zeta} \diff A(\zeta)
\end{split}
$$

これが実際に $(3)$ を満たしているかどうかはこのように確かめられる。

$$
\begin{split}
\ff{\del q(z)}{\del \bar{z}} &= \ff{\del }{\del \bar{z}} \left( \ff{1}{2\pi i}\iint \ff{\B{\om}(\zeta)}{z-\zeta} \diff A(\zeta) \right) \EE
&= \ff{1}{2\pi i}\iint \B{\om}(\zeta)\, \ff{\del }{\del \bar{z}}\left( \ff{1}{z-\zeta} \right) \diff A(\zeta) \EE
&= \ff{1}{2\pi i}\iint \B{\om}(\zeta)\, \pi\delta (z-\zeta)\, \diff A(\zeta) \EE
&= \ff{1}{2i}\B{\om}(z) \EE
&= -\ff{i}{2}\B{\om}
\end{split}
$$

　さて、渦のある流れまで視野に入れると、複素速度の表式の事情が変わってくる。すでに見たように、非圧縮流では複素速度 $q$ は

$$
\ff{\del q}{\del \bar{z}} = -\ff{i}{2}\B{\om}
$$

となるが、渦無し流れなら $ω=0$ のため、

​$$
\ff{\del q}{\del \bar{z}} = 0
$$

であり、$q$ は正則関数である。しかし、渦のある流れでは $ω≠0$ のため、一般には

​​$$
\ff{\del q}{\del \bar{z}} ≠ 0
$$

となる。つまり、渦のある流れでは複素速度はもはや $z$ だけの関数ではなく、

$$
q = q(z,\bar{z})
$$

として考える必要が出てくる。要するに、複素速度ポテンシャルの考え方は、渦のある流れでは少し形を変えて残ると考える方が自然である。上の結果を考えると、渦のある流れに複素速度を拡張する自然な方法は、ポテンシャル流れに対して、このように渦度からの寄与を加える方法である。

$$
\boxed{
q = f(z)+\ff{1}{2\pi i}\iint \ff{\B{\om}(\zeta)}{z-\zeta}\, \diff A(\zeta)
} \tag{5}
$$

上式こそが、渦のある流れに複素速度を拡張した式である。

例題

剛体回転 $
u_1=\Omega y,\,\, u_2=-\Omega x
$ で与えられる2次元流れを考える。

1. 複素速度 $q=u_1+iv_1$ を $z,\bar{z}$ を用いて表せ。
2. $\partial q/\partial \bar{z}$ を求めよ。
3. 渦度 $\omega$ を求めて、$ \partial q/\partial \bar{z}=-i/2 \omega$ を確かめよ。

---

解答

まず $q=u_1+iu_2$ なので、$q=\Omega y-i\Omega x = -i\Omega (x-iy)$ である。

ここで $\bar z=x-iy$ を使うと、

$$
\boxed{
q = -i\Omega \bar{z}
}
$$

次に、$\bar {z}$ で微分すると

$$
\boxed{
\ff{\partial q}{\partial \bar z}=-i\Omega
}
$$

が得られる。

　一方、渦度は $\DL{\omega=\frac{\partial u_2}{\partial x}-\frac{\partial u_1}{\partial y}}$ であるが、

$$
\frac{\partial u_2}{\partial x} = -\Omega,\qquad
\frac{\partial u_1}{\partial y} = \Omega
$$

のため

$$
\omega=-\Omega-(\Omega)=-2\Omega
$$

したがって、

$$
\boxed{
\frac{\partial q}{\partial \bar z}=-\frac{i}{2}\omega
}
$$

が確かに成り立つ。

　この例では、複素速度が $q=-i\Omega\bar z$ となっていて、$z$ ではなく $\bar {z}$ を含んでいる。つまり、この流れは正則関数では表せない。ここに、渦有り流れでは複素速度ポテンシャルの世界から一歩外へ出るということがよく現れている。