渦力と束縛渦度について

　まず、理想流体（密度は $\rho=1$ と約束）について、以下のオイラーの運動方程式を考え、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{u}}{\del t}+(\B{u}\cdot \nabla)\B{u} = -\nabla p+\B{f}
\end{split}
$$

左辺第２項の対流項を渦度方程式の計算過程を用いて書き換え、移項すると、

$$
\begin{split}
\ff{\del \B{u}}{\del t} = -\nabla \left( p+\ff{1}{2} |\B{u}|^2 \right)+\B{u}\times \B{\om}+\B{f}
\end{split} \tag{1}
$$

が得られる。

　さて、(1)の右辺に現れる $\B{u}\times \B{\om}$ の項は、渦力と呼ばれる物体力として解釈できるのだが、その理由は以下の体積分を考えると納得できるだろう。（一行目から二行目への変形はガウスの発散定理を使っている）

$$
\begin{split}
\ff{\del }{\del t} \int_V \B{u}\,\diff V &= -\int_V \nabla \left( p+\ff{1}{2} |\B{u}|^2 \right) \diff V+\int_V (\B{u}\times \B{\om}+\B{f})\,\diff V \EE
&= -\int_S \left( p+\ff{1}{2} |\B{u}|^2 \right)\B{n}\, \diff S+\int_V (\B{u}\times \B{\om}+\B{f})\,\diff V
\end{split}
$$

ここで、$\DL{p+\ff{1}{2} |\B{u}|^2}$ は全圧項と呼ばれる量であり、定常流の場合、その積分はゼロとなる（圧力は等方的に作用しているため）。また、外力が作用していないとすると、$\B{f}=\B{0}$ である。したがって上式は、

$$
\begin{split}
\ff{\del }{\del t} \int_V \B{u}\,\diff V &=\int_V \B{u}\times \B{\om}\,\diff V
\end{split} \tag{2}
$$

とできる。このように $\B{u}\times \B{\om}$ は物体力と解釈できるのである。

束縛渦度について

　以前示したように、流体に対して相対的に運動する物体は、運動学的に（無限の方法で）像渦度の分布によって置き換えることができる。定常運動では、この渦度分布は物体に対して固定される。それゆえ束縛渦度とも呼ばれる。

　この束縛渦度は、一般にはヘルムホルツの渦定理を満たさない。なぜなら、平衡を維持するために、渦力のバランスを取る必要があって、それゆえ束縛渦度に外部物体力が供給されなければならないからである。なお、ヘルムホルツの渦定理を満たす渦度（すなわち、外力が保存的である場合）は、自由渦度と呼ばれている。（なお、大域的に一定のベルヌーイ定数 $H$ を持つ定常流れでは、自由渦度は流線に平行である。）

　今、流体により物体に加えられる力の総和を $\B{D}$ としよう。すると、流体に作用している全外力は $-\B{D}$ となる。さて、束縛渦度を含んで、その境界で全圧が一定であるような体積 $V$ に先の議論を適用すると、

$$
\begin{split}
\B{D} &=\int_V \B{u}\times \B{\om}\,\diff V
\end{split} \tag{3}
$$

という関係が得られる。なお、(3) を変形すると、

$$
\begin{split}
\B{D} &=\int_V \left( \ff{1}{2}\nabla \B{u}^2-\B{u}\cdot \nabla \B{u} \right)\,\diff V \EE
&= \int_S \left( \ff{1}{2} \B{u}^2\, \B{n}-\B{u} (\B{u}\cdot \B{n}) \right)\,\diff S
\end{split} \tag{4}
$$

という関係も得られる。また、右辺は物体上の速度のみで決定されるため、速度場と渦度場を物体内に拡張して像系を与える特定の方法とは無関係であると分かる。つまり、渦力は考えている特定の像系には無関係であることが言える。

円柱に作用する渦力（揚力）の計算

　今、循環 $\G$ を持つ半径 $a$ の円柱周りの流れを考え、この流れが円柱に与える力を考えよう（$\G$ が束縛渦度と言える）。このとき、円柱軸は $z$ 軸に沿っており、一様流は流速 $U$ の $x$ 軸に平行な流れであり、かつ、$xy$ 平面内で２次元流であるとする。このとき、流れの複素速度ポテンシャルは、円柱周りの流れと循環流の合成としてこのように記述できる。

$$
\begin{split}
w = Uz+\ff{Ua^2}{z}+i\ff{\G}{2\pi} \log z
\end{split}
$$

$z=re^{i\q}$ とすると、上式はこのように変形できる。

$$
\begin{split}
w &= Ure^{i\q}+\ff{Ua^2}{re^{i\q}}+i\ff{\G}{2\pi} \log (re^{i\q}) \EE
&= Ure^{i\q}+\ff{Ua^2}{r}e^{-i\q}+i\ff{\G}{2\pi} (\log r+i \q) \EE
&= \left( Ur\cos\q+\ff{Ua^2}{r}\cos\q-\ff{\G\q}{2\pi} \right) \EE
&\qquad+i\left(Ur\sin \q-\ff{Ua^2}{r}\sin\q+\ff{\G}{2\pi}\log r \right)
\end{split}
$$

ここに $\phi, \psi$ を速度ポテンシャル、流れ関数とすると、$w=\phi+i\psi$ とできるため、速度ポテンシャルは、

$$
\begin{split}
\phi &= Ur\cos\q+\ff{Ua^2}{r}\cos\q-\ff{\G\q}{2\pi}
\end{split}
$$

であることも導ける。

　幸いなことに、式を変更することなく円柱内にも複素速度ポテンシャルを拡張できる。ただし、原点で特異点を持つことになるので、原点では正則関数とはならないことに注意が必要である。

　渦度については原点以外では $0$ であるが、原点のみでは渦度が存在して、例えば $\G \delta(0)$ と書くことができる。これを $\DL{\int_V \B{u}\times \B{\om} \diff V}$ に適用すると、$y$ 方向にのみ $U \G$ の力が作用することが分かる。これは揚力とも呼ばれる。

ブラシウスの第一公式からの揚力の計算

　ブラシウスの第一公式からも同一の結果を得られる。今、円柱に $x$ 軸方向に作用している力を $F_x$、$y$ 軸方向に作用している力を $F_y$ とすると以下が成立し、

$$
\begin{split}
F_x+iF_y &= -\ff{i}{2} \oint_C \left( \ff{\diff w}{\diff z} \right)^2 \diff z \EE
&= -\ff{i}{2} \oint_C \left( U^2+i\ff{U \G}{\pi z}-\ff{\G^2}{4\pi^2 z^2}-\ff{2U^2 a^2}{z^2}-i\ff{U\G a^2}{\pi z^3}+\ff{U^2a^4}{z^4} \right) \diff z\EE
&= -\ff{i}{2}\cdot \left(2i\pi\cdot \ff{iU\G}{\pi} \right) \quad(\text{留数定理を用いた}) \EE
&= iU\G
\end{split}
$$

よって、$y$ 軸方向に揚力 $U\G$ が作用する。