流体の外側にある固体を、その内部に置いた仮想的な渦度分布あるいは表面の渦層で置き換えて、外側の速度場を自由空間の Biot–Savart 公式で扱えるようにすることです。Saffman は、この内部に入れた分布を渦像と呼び、定常運動ではこれが bound vorticity と呼ばれる。
まずは一般論から述べよう。ある閉曲面 $S$ を考えて、その $S$ 上でベクトル場 $\B{a}$ の値が与えられているとする。この状態において、$\B{a}$ を閉曲面内部へと延長できる条件は以下で述べられる。
$$
\begin{split}
\int_S \B{a}\cdot \B{n}\, \diff S = 0
\end{split} \tag{1}
$$
これは、$S$ 上を出入りする正味の量が $0$ であることを表しているため、$S$ 内では湧き出しも吸い込みも無いことも同時に言える。ゆえに、
$$
\begin{split}
\div\, \B{a} = 0
\end{split} \tag{2}
$$
も成立する。ただし、$\B{a}$ の取り方は一意ではなく、同じ境界条件を持ちつつ $\div\,\B{a_1} = 0, \div\,\B{a_2}=0$ などができる。
渦像とは？
まず、物体外での速度場 $\B{u}$ を渦有りの流れと渦無しの流れに分解することを考えよう。今、回転有りの流れを $\B{u}_V$ として、また、渦無しの流れは速度ポテンシャル $\Phi$ を用いると、$\nabla \Phi$ で表現できるので、
$$
\begin{split}
\B{u} = \B{u}_V+\nabla \Phi
\end{split} \tag{3}
$$
とできる。なお、物体外での渦度場 $\B{\om}_V = \rot\,\B{u}_V$ は物体内には及ばないため、物体内では $\rot\, \B{\om}_V = \B{0}$ であることに注意されたい。
この速度場を物体内部に仮想的に拡張する方法を考える。この際、上で考えたことが生きてくる。今、物体内の仮想的な速度場 $\B{u}_B=\B{u}_I+\nabla\Phi_B$ を導入する。そして、$\B{u} = \B{u}_V+\B{u}_I$ が物体内外で連続となるように $\B{u}_I$ を定めるとする。
このとき、物体内部にて仮想的な渦度場
$$
\begin{split}
\B{\om}_I = \rot\, \B{u}_I
\end{split} \tag{4}
$$
を考えることができる。このとき、$\B{\om}_I$ の分布のことを渦像と呼ぶことにする。さらに、渦度場はソレノイダルであるので、$\div\, \B{\om}_I = 0$ となることが冒頭の話を応用する鍵になる。
速度ポテンシャルの決定方法について
渦像の渦度分布は一意には決まらないが、渦像により物体外に誘導される速度場は、表面上で与えられた値をとる非回転なソレノイダル場である。そのため、この分布の構成方法は特定の方法に依存しないことに注意が必要である。渦像の渦度は、物体単独で決定されるものでは無く、$\Phi$ が領域全体の幾何学に依存して決まるゆえに、他の物体にも依存して決まることに注意が必要である。
$\Phi$ の決定にあたっては、以下のように構成される速度場への寄与について、非回転部分を使用することが往々にして便利である。例えば、物体内での $\nabla \Phi_B$ を、
$$
\left\{
\begin{split}
\, &\nabla^2 \Phi_B = 0 \EE
\, &\ff{\del\, \Phi_B}{\del \B{n}} = \ff{\del\, \Phi}{\del \B{n}} \quad (\RM{on}\, S)
\end{split}
\right.
$$
と定めると、$\Phi_B$ が物体内で解析的あるという要求から決定できる。
こうすると、ポテンシャル $\Phi_B$ を一意に定めることができる。ただし、一般に $\Phi$ の物体内への解析的継続は $\Phi_B$ と同じでは無い。普通は $\nabla \Phi$ と $\nabla \Phi_B$ の接線成分は不連続であり、それゆえ表面では強度、
$$
\begin{split}
\B{\ka} = \B{n}\times (\nabla \Phi-\nabla \Phi_B)
\end{split} \tag{5}
$$
の渦層あるいは強度 $\nabla \Phi-\nabla \Phi_B$ の等価双極子面分布と等価となる。この形式は渦層としての、渦像の表現を与える。一般に、渦像の渦度を閉形式で記述することは不可能である。ただし、閉形式を用いて書き下すことができる単純な場合がいくつかある。
円柱に対する渦像について
原点を中心とした半径 $a$ の円柱があるとして、$r>a$ の位置に一本の線渦があるとする。
今、線渦の強さを $\DL{\ff{\G}{2\pi r}}$ とできる。このとき、ミルン・トムソンの円定理より、円柱内の像渦は以下を満たすように定めることができる。
$$
\begin{split}
\ff{\G}{2\pi(r-a^2/r)}-\ff{\G}{2\pi r} = \ff{\G a^2}{2\pi r(r^2-a^2)}
\end{split} \tag{6}
$$
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